f(x) = ln(tanh(x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que nos pede para trabalhar com a função . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação de funções logarítmicas e das funções trigonométricas hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos encontrar. Geralmente, quando temos uma função como essa, o objetivo é encontrar a sua derivada, ou seja, . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a .

Passo 3

Vamos começar aplicando a regra da cadeia, que é usada quando queremos derivar uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de é , onde é uma função de .

Passo 4

No nosso caso, . Então, precisamos primeiro derivar em relação a . A derivada de é , onde é a função secante hiperbólica.

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Podemos simplificar isso sabendo que . Então, substituindo na expressão:

Passo 7

Para simplificar ainda mais, podemos escrever isso como:
E sabemos que , então:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados