integral triplaB x^2 y d V onde B é o paralelepípedo dado por 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2 e 1 <= z <= 3. (Resp: 1)

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral tripla integral triplaB x^2 y , dV, onde B é o paralelepípedo definido por 0 <= x <= 1, 1 <= y <= 2 e 1 <= z <= 3. Vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de integração para cada variável dentro do paralelepípedo B:
  • x varia de 0 a 1,
  • y varia de 1 a 2,
  • z varia de 1 a 3.
Isso significa que nossa integral tripla será:
integralz=1^3 integraly=1^2 integralx=0^1 x^2 y , dx , dy , dz

Passo 3

Começamos resolvendo a integral mais interna, que é em relação a x:
integral0^1 x^2 y , dx
Aqui, tratamos y como uma constante em relação a x.

Passo 4

Calculamos a integral em relação a x:
integral0^1 x^2 y , dx = y integral0^1 x^2 , dx = y [ x^33 ]0^1 = y ( 13 - 0 ) = y3

Passo 5

Substituímos o resultado na próxima integral, que é em relação a y:
integral1^2 y3 , dy = 13 integral1^2 y , dy = 13 [ y^22 ]1^2 = 13 ( 42 - 12 ) = 13 ( 32 ) = 12

Passo 6

Finalmente, resolvemos a integral em relação a z:
integral1^3 12 , dz = 12 integral1^3 dz = 12 (3 - 1) = 12 times 2 = 1

Resposta

1

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