Calcular o volume do sólido acima do plano x y delimitado superiormente por z = raiz(x^2 + y^2) e inferiormente por x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 9. Considere 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que está acima do plano xy. Esse sólido é limitado por uma superfície superior dada por e entre dois círculos no plano xy com raios 1 e 3 (já que e ). Vamos usar coordenadas polares para facilitar, já que o problema tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que coordenadas polares são úteis aqui. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano xy é representado por (r, θ), onde r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x. Isso simplifica as expressões envolvendo círculos.

Passo 3

Vamos converter as equações para coordenadas polares:
  • A superfície superior: vira .
  • As equações dos círculos: e viram r = 1 e r = 3 respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
  • theta varia de 0 a para cobrir toda a volta.
  • r varia de 1 a , entre os dois círculos.
  • Para cada (r, θ), z varia de 0 (plano xy) até (superfície superior).

Passo 5

Montamos a integral tripla para o volume usando coordenadas cilíndricas:
Aqui, o fator r é o jacobiano de transformação das coordenadas cartesianas para as polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Integramos em relação a r:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta:

Resposta

O volume do sólido é .

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