Calcular o volume do sólido acima do plano delimitado superiormente por e inferiormente por e . Considere .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que está acima do plano . Esse sólido é limitado por uma superfície superior dada por e entre dois círculos no plano com raios 1 e 3 (já que e ). Vamos usar coordenadas polares para facilitar, já que o problema tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que coordenadas polares são úteis aqui. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . Isso simplifica as expressões envolvendo círculos.
Passo 3
Vamos converter as equações para coordenadas polares:
A superfície superior: vira .
As equações dos círculos: e viram e respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
varia de a para cobrir toda a volta.
varia de a , entre os dois círculos.
Para cada , varia de (plano ) até (superfície superior).
Passo 5
Montamos a integral tripla para o volume usando coordenadas cilíndricas:
Aqui, o fator é o jacobiano de transformação das coordenadas cartesianas para as polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :