Seja
, calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de
e pelos círculos de centro na origem e raios 1 e 2 .(Resp:
u.v.)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função
e precisamos calcular o volume do sólido que está limitado pelo gráfico dessa função e por dois círculos que têm centro na origem e raios 1 e 2. Vamos usar o conteúdo de cálculo de volumes usando integrais duplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A função
representa um plano inclinado no espaço tridimensional. Os círculos de raio 1 e 2 na origem formam regiões no plano
que vão delimitar a base do nosso sólido.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com círculos. Em coordenadas polares,
e
. Isso facilita a integração sobre regiões circulares.
Passo 4
Expressamos a função
em coordenadas polares:
O volume será a integral dupla dessa função sobre a região entre os círculos de raio 1 e 2.
Passo 5
Os limites de integração para
vão de 1 a 2 (raios dos círculos) e para
vão de 0 a
para cobrir todo o círculo. A fórmula para o volume em coordenadas polares é:
O
extra vem do jacobiano da transformação para coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Calculando nos limites:
Passo 7
Agora, integramos a expressão resultante em relação a
: