Seja f(x, y) = 4 - y, calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de f e pelos círculos de centro na origem e raios 1 e 2 .(Resp: 12 pi u.v.)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função e precisamos calcular o volume do sólido que está limitado pelo gráfico dessa função e por dois círculos que têm centro na origem e raios 1 e 2. Vamos usar o conteúdo de cálculo de volumes usando integrais duplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A função representa um plano inclinado no espaço tridimensional. Os círculos de raio 1 e 2 na origem formam regiões no plano que vão delimitar a base do nosso sólido.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com círculos. Em coordenadas polares, e . Isso facilita a integração sobre regiões circulares.

Passo 4

Expressamos a função em coordenadas polares:
O volume será a integral dupla dessa função sobre a região entre os círculos de raio 1 e 2.

Passo 5

Os limites de integração para vão de 1 a 2 (raios dos círculos) e para vão de 0 a para cobrir todo o círculo. A fórmula para o volume em coordenadas polares é:
O extra vem do jacobiano da transformação para coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Calculando nos limites:

Passo 7

Agora, integramos a expressão resultante em relação a :

Resposta

unidades de volume.

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