integral 3(2 y+1)^3 d y

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 3(2 y+1)^3 d y. Nesse exercício, vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente com integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 2y + 1. Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a y para encontrar du:
du = 2 , dy implies dy = du2

Passo 3

Agora, substituímos u e dy na integral original:
integral 3(2 y + 1)^3 d y = integral 3u^3 cdot du2 = 32 integral u^-3 du

Passo 4

Vamos integrar u^-3:
integral u^-3 du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C

Passo 5

Multiplicando pela constante 32:
32 cdot (-12u^2) = -34u^2 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por 2y + 1:
-34(2y + 1)^2 + C

Resposta

A integral é igual a -34(2y + 1)^2 + C.

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