Resolva a equação diferencial Exata dada, sujeita à condição inicial indicada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você mandou, junto com a condição inicial
. O conteúdo aqui é de equações diferenciais, mais especificamente de equações exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução geral e aplicar a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é mesmo exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, diferenciamos
em relação a
:
Essa derivada deve ser igual a
:
Simplificando, temos:
Integrando
em relação a
:
Então, a função completa
fica:
Resposta
Aplicando a condição inicial
, encontramos
. Portanto, a solução da equação diferencial é: