Resolva a equação diferencial Exata dada, sujeita à condição inicial indicada: (4y + 2t - 5) dt + (6y + 4t - 1) dy = 0 ; y(-1) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você mandou, junto com a condição inicial . O conteúdo aqui é de equações diferenciais, mais especificamente de equações exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução geral e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar e na nossa equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é mesmo exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, diferenciamos em relação a :
Essa derivada deve ser igual a :
Simplificando, temos:
Integrando em relação a :
Então, a função completa fica:

Resposta

Aplicando a condição inicial , encontramos . Portanto, a solução da equação diferencial é:

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