Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente o conceito de derivada direcional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular gradientes e normalizar vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Para
:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, precisamos avaliar o gradiente no ponto
. (Note que a coordenada z não afeta nossa função
).
Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Aqui percebemos que o denominador se torna
, o que não é um número real. Isso significa que no ponto
, a função
não está definida no conjunto dos números reais.
Passo 5
Como a função
não está definida em
no conjunto dos números reais, não podemos calcular a derivada direcional nesse ponto. Isso ocorre porque o argumento da raiz quadrada se torna negativo, o que não é permitido para números reais.
Resposta
Não é possível calcular a derivada direcional no ponto
na direção de
porque a função
não está definida nesse ponto no conjunto dos números reais.