integral0^pi 2 x sen(x) d x

Passo 1

Estamos resolvendo a integral definida integral0^pi 2x sin(x) , dx. Vamos usar o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da função vão ser u e dv.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Essa fórmula ajuda a simplificar a integral original transformando-a em termos mais fáceis de calcular.

Passo 3

Vamos escolher:
u = 2x e dv = sin(x) , dx
Escolhemos u = 2x porque sua derivada será mais simples, e dv = sin(x) , dx porque é fácil de integrar.

Passo 4

Agora, calculamos du e v:
du = ddx(2x) , dx = 2 , dx
v = integral sin(x) , dx = -cos(x)

Passo 5

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral 2x sin(x) , dx = u v - integral v , du = 2x (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot 2 , dx
= -2x cos(x) + 2 integral cos(x) , dx

Passo 6

Integramos cos(x):
integral cos(x) , dx = sin(x)
Portanto:
-2x cos(x) + 2 sin(x) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de 0 a pi:
[-2x cos(x) + 2 sin(x)]0^pi
Calculando em x = pi:
-2pi cos(pi) + 2 sin(pi) = -2pi (-1) + 0 = 2pi
Calculando em x = 0:
-2(0) cos(0) + 2 sin(0) = 0 + 0 = 0
Subtraindo:
2pi - 0 = 2pi

Resposta

A integral integral0^pi 2x sin(x) , dx é igual a 2pi.

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