integral0^1 x^3(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração como substituição e frações parciais. Para resolver, vamos precisar usar substituições inteligentes para simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão da integral: x^3(x^2+1)^2 = x cdot x^2(x^2+1)^2 . Nosso objetivo é simplificar essa fração para facilitar a integração. Podemos reescrever x cdot x^2(x^2+1)^2 = x cdot (x^2 + 1 - 1)(x^2+1)^2 = x(x^2+1)(x^2+1)^2 - x(x^2+1)^2 = xx^2+1 - x(x^2+1)^2 como integral0^1 xx^2+1 , dx - integral0^1 x(x^2+1)^2 , dx e perceber que está no denominador. Então, vamos reescrever a integral assim:
Agora, vamos dividir o numerador de uma forma que facilite a simplificação:
Então, a integral original se transforma em duas integrais mais simples:

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começamos com a primeira:
integral xx^2+1 , dx
Aqui, usamos a substituição. Vamos definir:
u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Substituindo na integral:
integral xx^2+1 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2+1) + C

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral:
integral x(x^2+1)^2 , dx
Novamente, usamos a substituição:
u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Substituindo na integral:
integral x(x^2+1)^2 , dx = 12 integral 1u^2 , du = 12 ( -1u ) + C = -12(u) + C = -12(x^2+1) + C

Passo 5

Agora, voltando à nossa expressão original, substituímos as integrais resolvidas:
integral0^1 x^3(x^2+1)^2 , dx = [ 12 ln(x^2+1) ]0^1 - [ 12 cdot ( -1x^2+1 ) ]0^1
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 6

Calculando a primeira parte:
[ 12 ln(x^2+1) ]0^1 = 12 ln(1^2+1) - 12 ln(0^2+1) = 12 ln(2) - 12 ln(1) = 12 ln(2) - 0 = 12 ln(2)
Calculando a segunda parte:
- [ 12 cdot ( -1x^2+1 ) ]0^1 = 12 [ 11^2+1 - 10^2+1 ] = 12 ( 12 - 1 ) = 12 ( -12 ) = -14

Passo 7

Agora, juntando os dois resultados:
12 ln(2) - 14

Resposta

O valor da integral é .

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