Encontre o volume da região em
limitada acima pela esfera
e abaixo pela superfície
.
(Resp.:
onde
)
(Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de geometria no espaço! A gente precisa encontrar o volume da região em
que está acima da esfera dada por
e abaixo da superfície
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, porque as simetrias das equações se dão melhor nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as duas superfícies que delimitam a região. A esfera
é uma esfera de raio 1 centrada na origem. A superfície
é um paraboloide que se abre para cima.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção dessas duas superfícies para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Vamos chamar
, então:
Isso nos dá uma equação para encontrar os limites de
.
Passo 4
Resolvendo a equação
, fazemos uma substituição
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como
não pode ser negativo, temos:
Passo 5
Agora, vamos configurar as integrais em coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas,
,
, e
. O diferencial de volume é
.
Passo 6
Os limites de integração serão:
-
varia de a (circunferência completa). -
varia de a , onde . - Para cada
, varia de (paraboloide) até (esfera resolvida para ).
Passo 7
Portanto, a integral para o volume
fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Integrando em
:
Para a primeira integral, fazemos a substituição
,
:
Para a segunda integral:
Passo 10
Substituindo os limites e juntando tudo:
Passo 11
Agora, integrando em
, que vai de
a
:
Resposta
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