Encontre o volume da região em limitada acima pela esfera e abaixo pela superfície .
(Resp.: onde )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria no espaço! A gente precisa encontrar o volume da região em que está acima da esfera dada por e abaixo da superfície . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, porque as simetrias das equações se dão melhor nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as duas superfícies que delimitam a região. A esfera é uma esfera de raio 1 centrada na origem. A superfície é um paraboloide que se abre para cima.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção dessas duas superfícies para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Vamos chamar , então:
Isso nos dá uma equação para encontrar os limites de .

Passo 4

Resolvendo a equação , fazemos uma substituição :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como não pode ser negativo, temos:

Passo 5

Agora, vamos configurar as integrais em coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, , , e . O diferencial de volume é .

Passo 6

Os limites de integração serão:
  • varia de a (circunferência completa).
  • varia de a , onde .
  • Para cada , varia de (paraboloide) até (esfera resolvida para ).

Passo 7

Portanto, a integral para o volume fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em :
Então, a integral fica:

Passo 9

Integrando em :
Para a primeira integral, fazemos a substituição , :
Para a segunda integral:

Passo 10

Substituindo os limites e juntando tudo:

Passo 11

Agora, integrando em , que vai de a :

Resposta

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