Passo 1
Beleza, temos a integral definida
. Vamos resolver isso usando integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui com
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Precisamos escolher quais partes da nossa função vão ser
e
. A escolha certa facilita bastante a resolução.
Passo 3
Vamos escolher:
-
Então, derivando,. -
Integrando,.
Essa escolha é boa porque a derivada de
simplifica a expressão.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando, ficamos com:
Agora, precisamos resolver
.
Passo 5
Vamos aplicar integração por partes de novo na integral
. Escolhemos:
-
Então,. -
Integrando,.
Passo 6
Aplicando a fórmula novamente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Então, a antiderivada de
é:
Passo 8
Agora aplicamos os limites da integral definida de
a
:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral
é
, que aproximadamente é igual a
.
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Encontre o volume da região em
limitada acima pela esfera
e abaixo pela superfície
.
(Resp.: onde
)
(Resp.:
Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Demonstre que toda função polinomial real de duas variáveis reais é contínua em