integral-1^1 x^2 cdot e^x d x

Passo 1

Beleza, temos a integral definida . Vamos resolver isso usando integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui com e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa função vão ser e . A escolha certa facilita bastante a resolução.

Passo 3

Vamos escolher:

  • Então, derivando, .

  • Integrando, .
Essa escolha é boa porque a derivada de simplifica a expressão.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x , dx
Simplificando, ficamos com:
x^2 e^x - 2 integral x e^x , dx
Agora, precisamos resolver .

Passo 5

Vamos aplicar integração por partes de novo na integral . Escolhemos:

  • Então, .

  • Integrando, .

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x
Então, a antiderivada de integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C é:

Passo 8

Agora aplicamos os limites da integral definida de [ x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x ]-1^1 = (1^2 e^1 - 2(1)e^1 + 2e^1) - ((-1)^2 e^-1 - 2(-1)e^-1 + 2e^-1) a (e - 2e + 2e) - (e^-1 + 2e^-1 + 2e^-1) = e - 5e^-1 :
Simplificando:

Resposta

O valor da integral é , que aproximadamente é igual a .

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