integral0^1 integral0^2(9-x^2-y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve uma integral dupla. O que a questão pede é calcular a área sob a superfície definida pela função no intervalo onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 2. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função em relação a integral0^2 (9 - x^2 - y^2) , dy . A integral interna é:
Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a integral de integral (9 - x^2) , dy = (9 - x^2)y em relação a integral -y^2 , dy = -y^33 :
(9 - x^2)y - y^33 avaliada de 0 a 2
Agora, calculamos a integral de em relação a :
Juntando essas duas partes, a integral interna fica:

Passo 4

Vamos substituir os limites de integração:
[(9 - x^2)(2) - 2^33] - [(9 - x^2)(0) - 0^33] = (18 - 2x^2) - 83
Simplificando:
18 - 2x^2 - 83 = (18 - 83) - 2x^2 = 54 - 83 - 2x^2 = 463 - 2x^2

Passo 5

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a integral0^1 (463 - 2x^2) , dx :
463 integral0^1 dx - 2 integral0^1 x^2 , dx
Vamos separar as integrais:

Passo 6

Calculando cada parte:
463 integral0^1 dx = 463 [x]0^1 = 463 (1 - 0) = 463
E:
2 integral0^1 x^2 , dx = 2 [x^33]0^1 = 2 (13 - 0) = 23

Passo 7

Subtraindo as duas partes:
463 - 23 = 443

Resposta

443

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