integralc y d x+2 z d y+x d z, se C é a poligonal que une os pontos (0,0,0),(0,0,1),(0,1,1) e (1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha:
integralC y , dx + 2 z , dy + x , dz
Aqui, é o caminho poligonal que liga os pontos , , e . Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha para campos vetoriais e calcular essa integral ao longo de cada segmento do caminho .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os segmentos que compõem o caminho :
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento 1: De x(t) = 0 y(t) = 0 z(t) = t a dx = 0 dy = 0 dz = dt
Nesse segmento, apenas integral0^1 [0 cdot 0 + 2 t cdot 0 + 0 cdot dt] = integral0^1 0 , dt = 0 varia de 0 a 1, enquanto e . Vamos parametrizar esse segmento:
onde varia de 0 a 1.
Agora, calculamos os diferenciais:
Substituindo na integral:

Passo 4

Segmento 2: De x(t) = 0 y(t) = t z(t) = 1 a dx = 0 dy = dt dz = 0
Aqui, apenas integral0^1 [t cdot 0 + 2 cdot 1 cdot dt + 0 cdot 0] = integral0^1 2 , dt = 2t g|0^1 = 2 varia de 0 a 1, enquanto e . Parametrizamos:
onde varia de 0 a 1.
Diferenciais:
Substituindo na integral:

Passo 5

Segmento 3: De x(t) = t y(t) = 1 z(t) = 1 a dx = dt dy = 0 dz = 0
Nesse trecho, apenas integral0^1 [1 cdot dt + 2 cdot 1 cdot 0 + t cdot 0] = integral0^1 dt = t g|0^1 = 1 varia de 0 a 1, com e . Parametrizamos:
onde varia de 0 a 1.
Diferenciais:
Substituindo na integral:

Resposta

Somando as integrais de cada segmento:
0 + 2 + 1 = 3
Portanto, o valor da integral de linha é 3.

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