A intersecção de um plano com uma esfera de raio R é um círculo de raio r=√11 cm. Sabendo-se que o plano dista 5 cm do centro da esfera, a área da superfície esférica, em cm², é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem uma esfera com raio desconhecido R e um plano que a corta, formando um círculo de raio $ r = \sqrt{11} $ cm. Sabemos também que a distância do plano até o centro da esfera é de 5 cm. Para achar a área da superfície da esfera, vamos usar fórmulas da geometria espacial relacionadas à intersecção de planos e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona o raio da esfera ®, o raio do círculo de intersecção ® e a distância do plano ao centro da esfera (d):
Aqui, $ r = \sqrt{11} $ cm e $ d = 5 $ cm. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar R.
Passo 3
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ R^2 $:
Passo 5
Para encontrar R, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Agora que sabemos que o raio da esfera é 6 cm, vamos calcular a área da superfície da esfera usando a fórmula:
Passo 7
Substituindo R por 6 cm:
Resposta
A área da superfície esférica é $ 144\pi $ cm².