A intersecção de um plano com uma esfera de raio R é um círculo de raio r=√11 cm. Sabendo-se que o plano dista 5 cm do centro da esfera, a área da superfície esférica, em cm², é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem uma esfera com raio desconhecido R e um plano que a corta, formando um círculo de raio $ r = \sqrt{11} $ cm. Sabemos também que a distância do plano até o centro da esfera é de 5 cm. Para achar a área da superfície da esfera, vamos usar fórmulas da geometria espacial relacionadas à intersecção de planos e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona o raio da esfera ®, o raio do círculo de intersecção ® e a distância do plano ao centro da esfera (d):
r^2 = R^2 - d^2
Aqui, $ r = \sqrt{11} $ cm e $ d = 5 $ cm. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar R.

Passo 3

Substituindo os valores:
(raiz11)^2 = R^2 - 5^2
11 = R^2 - 25

Passo 4

Agora, vamos isolar $ R^2 $:
R^2
R^2 = 11 + 25

Passo 5

Para encontrar R, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
R = raiz36
R = 6 cm

Passo 6

Agora que sabemos que o raio da esfera é 6 cm, vamos calcular a área da superfície da esfera usando a fórmula:
Área = 4pi R^2 Á

Passo 7

Substituindo R por 6 cm:
Área = 4pi (6)^2 Á
Área = 4pi times 36 Á
Área = 144pi cm^2 Á

Resposta

A área da superfície esférica é $ 144\pi $ cm².

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