O que é o intervalo de convergēncia de uma série de potēncias? Como você o encontra?

Passo 1

Beleza, galera! Vamos falar sobre o intervalo de convergência de uma série de potências. Basicamente, o intervalo de convergência é o conjunto de valores para os quais a série de potências converge, ou seja, dá um resultado finito. Para encontrar esse intervalo, vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de potências. É uma soma infinita que tem a forma:
Aqui, são os coeficientes da série, é o centro da série, e é a variável. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries de potências. Esse teste nos ajuda a determinar até onde, em relação ao centro , a série converge.

Passo 4

O Teste da Razão diz que devemos calcular o limite:
Simplificando, fica:
Para a série convergir, precisamos que .

Passo 5

Agora, resolvemos a desigualdade :
Isso nos dá:
Chamamos esse limite de , que é o raio de convergência.

Passo 6

Uma vez que encontramos o raio de convergência , o intervalo de convergência é:
Mas precisamos verificar as pontas e para ver se a série converge nesses pontos.

Passo 7

Para verificar as pontas do intervalo, substituímos e na série e aplicamos testes de convergência específicos, como o Teste da Alternância ou o Teste da Integral, para ver se a série realmente converge nesses pontos.

Resposta

O intervalo de convergência de uma série de potências é o conjunto de valores de para os quais a série converge, e pode ser encontrado calculando o raio de convergência usando o Teste da Razão e verificando a convergência nas extremidades do intervalo.

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