Cada um dos três cabos de aço A-36 tem diâmetro de 2 mm e comprimentos LAC = 1,60 m e LAD = 2,00 m quando não carregados. Determine a força em cada cabo depois que a massa de 150 kg é suspensa pelo anel em A.
E:=200 cdot GPa
FAC=732 N e FAB = FAD=473 N

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três cabos de aço A-36, cada um com diâmetro de 2 mm. Quando não estão carregados, dois deles têm comprimentos diferentes: um com 1,60 m (vamos chamar de L_AC) e outro com 2,00 m (L_AD). A gente precisa descobrir a força que atua em cada cabo quando uma massa de 150 kg é suspensa no ponto A. Vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e propriedades dos materiais, como o módulo de elasticidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o peso da massa que está sendo suspensa. O peso § é dado pela fórmula:
P = m cdot g
onde:
  • $ m = 150 , kg $ é a massa,
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.
Então:
m = 150 , kg

Passo 3

Como a massa está em equilíbrio, a soma das forças que os cabos exercem deve igualar o peso da massa. Vamos chamar as forças nos cabos de $ F_{AC} $, $ F_{AB} $ e $ F_{AD} $. Então, temos:
FAC
FAB

Passo 4

Agora, precisamos levar em conta que os cabos têm diferentes comprimentos quando não estão carregados, o que significa que eles vão esticar de maneiras diferentes quando a massa é aplicada. Essa diferença na deformação nos ajuda a relacionar as forças nos cabos.
Usamos a fórmula da deformação ($ \Delta L $):
De
onde:
  • $ F $ é a força no cabo,
  • $ L $ é o comprimento original do cabo,
  • $ A $ é a área da seção transversal,
  • $ E $ é o módulo de elasticidade.
Como os cabos estão conectados no ponto A, a deformação deve ser a mesma para todos eles. Isso nos dá uma relação entre as forças.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal de um cabo. O diâmetro é 2 mm, então o raio $ r $ é 1 mm ou 0,001 m. A área $ A $ é:
r

Passo 6

Sabemos que o módulo de elasticidade $ E = 200 , GPa = 200 \times 10^9 , Pa $.
Agora, igualamos as deformações dos cabos:
E = 200 , GPa = 200 times 10^9 , Pa
Simplificando $ A \cdot E $ dos dois lados:
FAC cdot LACA cdot E = FAD cdot LADA cdot E

Passo 7

Substituindo os valores de $ L_{AC} = 1,60 , m $ e $ L_{AD} = 2,00 , m $:
LAC = 1,60 , m
Para encontrar a relação entre $ F_{AC} $ e $ F_{AD} $:
LAD = 2,00 , m

Passo 8

Também sabemos que $ F_{AB} = F_{AD} $ (pois estão nas mesmas condições). Então:
FAB = FAD

Passo 9

Voltando à equação do equilíbrio:
FAC + FAB + FAD = 1471,5
Substituindo $ F_{AB} = F_{AD} = 0,8 \cdot F_{AC} $:
FAB = FAD = 0,8 cdot FAC
FAC + 0,8 FAC + 0,8 FAC = 1471,5

Passo 10

Resolvendo para $ F_{AC} $:
FAC

Passo 11

Agora, calculamos $ F_{AD} $ e $ F_{AB} $:
FAD
FAB

Resposta

Após os cálculos, as forças em cada cabo são aproximadamente:
  • $ F_{AC} $: 566 N
  • $ F_{AB} $: 453 N
  • $ F_{AD} $: 453 N

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