Cada um dos três cabos de aço A-36 tem diâmetro de 2 mm e comprimentos LAC = 1,60 m e LAD = 2,00 m quando não carregados. Determine a força em cada cabo depois que a massa de 150 kg é suspensa pelo anel em
.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três cabos de aço A-36, cada um com diâmetro de 2 mm. Quando não estão carregados, dois deles têm comprimentos diferentes: um com 1,60 m (vamos chamar de L_AC) e outro com 2,00 m (L_AD). A gente precisa descobrir a força que atua em cada cabo quando uma massa de 150 kg é suspensa no ponto A. Vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e propriedades dos materiais, como o módulo de elasticidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o peso da massa que está sendo suspensa. O peso § é dado pela fórmula:
onde:
- $ m = 150 , kg $ é a massa,
- $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.
Então:
Passo 3
Como a massa está em equilíbrio, a soma das forças que os cabos exercem deve igualar o peso da massa. Vamos chamar as forças nos cabos de $ F_{AC} $, $ F_{AB} $ e $ F_{AD} $. Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos levar em conta que os cabos têm diferentes comprimentos quando não estão carregados, o que significa que eles vão esticar de maneiras diferentes quando a massa é aplicada. Essa diferença na deformação nos ajuda a relacionar as forças nos cabos.
Usamos a fórmula da deformação ($ \Delta L $):
onde:
- $ F $ é a força no cabo,
- $ L $ é o comprimento original do cabo,
- $ A $ é a área da seção transversal,
- $ E $ é o módulo de elasticidade.
Como os cabos estão conectados no ponto A, a deformação deve ser a mesma para todos eles. Isso nos dá uma relação entre as forças.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal de um cabo. O diâmetro é 2 mm, então o raio $ r $ é 1 mm ou 0,001 m. A área $ A $ é:
Passo 6
Sabemos que o módulo de elasticidade $ E = 200 , GPa = 200 \times 10^9 , Pa $.
Agora, igualamos as deformações dos cabos:
Simplificando $ A \cdot E $ dos dois lados:
Passo 7
Substituindo os valores de $ L_{AC} = 1,60 , m $ e $ L_{AD} = 2,00 , m $:
Para encontrar a relação entre $ F_{AC} $ e $ F_{AD} $:
Passo 8
Também sabemos que $ F_{AB} = F_{AD} $ (pois estão nas mesmas condições). Então:
Passo 9
Voltando à equação do equilíbrio:
Substituindo $ F_{AB} = F_{AD} = 0,8 \cdot F_{AC} $:
Passo 10
Resolvendo para $ F_{AC} $:
Passo 11
Agora, calculamos $ F_{AD} $ e $ F_{AB} $:
Resposta
Após os cálculos, as forças em cada cabo são aproximadamente:
- $ F_{AC} $: 566 N
- $ F_{AB} $: 453 N
- $ F_{AD} $: 453 N