Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está no campo do espaço vetorial e trata do produto interno entre polinômios. A gente tem dois polinômios:
e
. A tarefa é encontrar a projeção ortogonal de
na reta gerada por
. Para isso, vamos usar fórmulas de projeção em espaços com produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é projeção ortogonal. Em um espaço com produto interno, a projeção de um vetor
na direção de
é dada por:
Aqui,
representa o produto interno entre
e
, que no nosso caso é a integral de
de 0 a 1.
Passo 3
Vamos calcular
:
Primeiro, distribuímos os termos:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Integrando cada termo de 0 a 1:
Somando todos:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Expandindo o quadrado:
Integrando cada termo:
Somando todos:
Então,
.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
Resposta
(D)