Introduzimos em P2, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=3 x^2-4 x+2 na reta gerada por q(x)=3-3 x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 3 x^2-4 x+2 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 3-3 x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) x^2-4 x3+23
(B) 3 x^22-2 x+1
© 1-x
(D) 74-7 x4
(E) 5 x^24-5 x3+56
(F) 54-5 x4
(G) 32-3 x2
(H) 7 x^24-7 x3+76
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está no campo do espaço vetorial e trata do produto interno entre polinômios. A gente tem dois polinômios: e . A tarefa é encontrar a projeção ortogonal de na reta gerada por . Para isso, vamos usar fórmulas de projeção em espaços com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é projeção ortogonal. Em um espaço com produto interno, a projeção de um vetor Projq(p) = ( lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= ) q na direção de é dada por:
Aqui, representa o produto interno entre e , que no nosso caso é a integral de de 0 a 1.

Passo 3

Vamos calcular lang<= p, q rang<= = integral0^1 (3x^2 - 4x + 2)(3 - 3x) , dx :
(3x^2 - 4x + 2)(3 - 3x) = 9x^2 - 9x^3 - 12x + 12x^2 + 6 - 6x
Primeiro, distribuímos os termos:
-9x^3 + (9x^2 + 12x^2) + (-12x - 6x) + 6 = -9x^3 + 21x^2 - 18x + 6
Agora, somamos os termos semelhantes:
integral0^1 -9x^3 , dx = -94
Integrando cada termo de 0 a 1:
integral0^1 21x^2 , dx = 7
integral0^1 -18x , dx = -9
integral0^1 6 , dx = 6
-94 + 7 - 9 + 6 = -94 + 4 = 74
Somando todos:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= q, q rang<= = integral0^1 (3 - 3x)^2 , dx :
(3 - 3x)^2 = 9 - 18x + 9x^2
Expandindo o quadrado:
integral0^1 9 , dx = 9
Integrando cada termo:
integral0^1 -18x , dx = -9
integral0^1 9x^2 , dx = 3
9 - 9 + 3 = 3
Somando todos:
Então, .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
Projq(p) = ( 743 ) (3 - 3x) = ( 712 )(3 - 3x) = 74 - 7x4

Resposta

(D)

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