Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz de dimensão e três equações que relacionam essa matriz a vetores específicos. Nosso objetivo é determinar qual das afirmações (A) a (G) é verdadeira sobre as soluções da equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre a existência e unicidade de soluções para sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Aqui, é uma matriz que transforma o vetor em outro vetor . Queremos saber se, para qualquer vetor , existe um vetor que satisfaz essa equação, e se esse vetor é único.
Passo 3
Para isso, precisamos analisar as propriedades da matriz . Em particular, vamos verificar se é uma matriz invertível. Uma matriz é invertível se existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Se for invertível, então para qualquer , a equação terá uma solução única .
Passo 4
No entanto, se não for invertível, isso significa que seu determinante é zero, e a matriz não tem inversa. Nesse caso, o sistema pode ter:
Nenhuma solução para certos vetores .
Infinitas soluções quando está no espaço coluna de .
Passo 5
Agora, vamos analisar as equações fornecidas:
A -3 9 3 = -1 3 -1 , A -3 7 1 = -3 7 -9 , A -3 10 5 = -2 7 1
Essas equações nos dão informações sobre como atua em três vetores diferentes. Podemos tentar verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que nos ajudaria a determinar se é invertível.
Passo 6
Calculando o determinante de ou verificando a linearidade dessas equações nos ajudaria a concluir se é invertível ou não. Porém, mesmo sem calcular explicitamente, podemos notar que as imagens dos vetores não parecem consistentes com uma transformação invertível, sugerindo que pode ser singular (não invertível).
Passo 7
Portanto, se não é invertível, isso implica que há valores de para os quais não tem solução, e quando tem, as soluções não são únicas.
Resposta
(A) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor e que quando existe solução ela não é única.