Suponha A3 times 3 tal que
A[r-3 9 3]=[r-1 3 -1], A[r-3 7 1]=[r-3 7 -9] e
A[r-3 10 5]=[r-2 7 1].
Assinale a afirmação verdadeira:
(A) Pode-se afirmar que A x=b não tem solução para certos valores do vetor b e que quando existe solução ela não é única.
(B) Pode-se afirmar que A x=b tem solução única para qualquer b.
© Não existe matriz A que satisfaça às condições do enunciado.
(D) Pode-se afirmar que A x=b tem solução para qualquer b, mas não se pode garantir unicidade.
(E) Não se pode afirmar se A x=b tem solução para qualquer b.
(F) Pode-se afirmar que A x=b não tem solução para certos valores do vetor b, mas quando existe solução ela é única.
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz de dimensão e três equações que relacionam essa matriz a vetores específicos. Nosso objetivo é determinar qual das afirmações (A) a (G) é verdadeira sobre as soluções da equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre a existência e unicidade de soluções para sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Aqui, é uma matriz que transforma o vetor em outro vetor . Queremos saber se, para qualquer vetor , existe um vetor que satisfaz essa equação, e se esse vetor é único.

Passo 3

Para isso, precisamos analisar as propriedades da matriz . Em particular, vamos verificar se é uma matriz invertível. Uma matriz é invertível se existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Se for invertível, então para qualquer , a equação terá uma solução única .

Passo 4

No entanto, se não for invertível, isso significa que seu determinante é zero, e a matriz não tem inversa. Nesse caso, o sistema pode ter:
  • Nenhuma solução para certos vetores .
  • Infinitas soluções quando está no espaço coluna de .

Passo 5

Agora, vamos analisar as equações fornecidas:
A -3 9 3 = -1 3 -1 , A -3 7 1 = -3 7 -9 , A -3 10 5 = -2 7 1
Essas equações nos dão informações sobre como atua em três vetores diferentes. Podemos tentar verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que nos ajudaria a determinar se é invertível.

Passo 6

Calculando o determinante de ou verificando a linearidade dessas equações nos ajudaria a concluir se é invertível ou não. Porém, mesmo sem calcular explicitamente, podemos notar que as imagens dos vetores não parecem consistentes com uma transformação invertível, sugerindo que pode ser singular (não invertível).

Passo 7

Portanto, se não é invertível, isso implica que há valores de para os quais não tem solução, e quando tem, as soluções não são únicas.

Resposta

(A) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor e que quando existe solução ela não é única.

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