Seja theta o ângulo entre os vetores (5,-2,-5,4) e (-1,1,-4,0) em R^4. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 <= theta <= pi / 6
(B) pi / 6
© pi / 4
(D) pi / 3
(E) pi / 2
(F) 2 pi / 3
(G) 3 pi / 4
(H) 5 pi / 6
(I) Não sei

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria vetorial em R^4 que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores. Para isso, vamos precisar entender como calcular o ângulo entre vetores usando a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dados no problema:
  • Vetor u = (5, -2, -5, 4)
  • Vetor v = (-1, 1, -4, 0)

Passo 3

Para encontrar o ângulo theta entre os vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde:
  • u cdot v é o produto escalar dos vetores.
  • |u| e |v| são as normas (comprimentos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre os vetores.

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (5)(-1) + (-2)(1) + (-5)(-4) + (4)(0) = -5 -2 + 20 + 0 = 13

Passo 5

Agora, calculamos as normas dos vetores:
|u| = raiz5^2 + (-2)^2 + (-5)^2 + 4^2 = raiz25 + 4 + 25 + 16 = raiz70 approx 8,3666
|v| = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-4)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 16 + 0 = raiz18 approx 4,2426

Passo 6

Substituímos os valores na fórmula do produto escalar para encontrar cos(theta):
13 = 8,3666 cdot 4,2426 cdot cos(theta)
cos(theta) = 138,3666 times 4,2426 approx 1335,5 approx 0,3662

Passo 7

Agora, encontramos o ângulo theta usando a função arco cosseno:
theta = arccos(0,3662) approx 1,194 radianos
Convertendo para graus para facilitar a interpretação:
theta approx 1,194 times 180pi approx 68,4^circ

Passo 8

Comparando o ângulo encontrado com as alternativas fornecidas, vemos que 68,4^circ está entre pi / 4 (45°) e pi / 3 (60°). No entanto, 68,4° está na verdade entre pi / 3 (60°) e pi / 2 (90°). Portanto, a alternativa correta é:

Resposta

(D) pi / 3

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