Uma janela normanda tem o formato de um retângulo em cima do qual se coloca um semicírculo. Se o perímetro da janela for de 10 m , . expresse a área
da janela como uma função de sua largura
.
Dica: Se preciso se o fato de que o comprimento da circunferência é
e a área é
, em que
é o raio da circunferência.
Dica: Se preciso se o fato de que o comprimento da circunferência é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma janela normanda que é composta por um retângulo na parte de baixo e um semicírculo em cima. O perímetro total dessa janela é de 10 metros. Queremos descobrir qual é a área
dessa janela em função da largura
.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de geometria:
- Perímetro de um círculo completo:
, onde é o raio. - Área de um círculo completo:
.
Como temos apenas um semicírculo, vamos ajustar essas fórmulas para o nosso caso.
Passo 2
Vamos definir as variáveis:
-
: largura da janela (que também será o diâmetro do semicírculo). -
: raio do semicírculo. Como é metade do diâmetro, temos . -
: altura do retângulo.
Passo 3
Vamos calcular o perímetro da janela. O perímetro inclui:
- Os dois lados verticais do retângulo:
. - A base do retângulo:
. - A circunferência do semicírculo: metade da circunferência total, ou seja,
.
Então, o perímetro total
é:
Sabemos que
metros e
. Substituindo:
Simplificando:
Agora, vamos isolar
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a área total
da janela. A área é a soma da área do retângulo com a área do semicírculo.
Área do retângulo:
Área do semicírculo:
Então, a área total é:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na fórmula da área:
Vamos distribuir o
:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:
Resposta
A área
da janela em função da largura
é: