Uma janela normanda tem o formato de um retângulo em cima do qual se coloca um semicírculo. Se o perímetro da janela for de 10 m , . expresse a área da janela como uma função de sua largura .
Dica: Se preciso se o fato de que o comprimento da circunferência é e a área é , em que é o raio da circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma janela normanda que é composta por um retângulo na parte de baixo e um semicírculo em cima. O perímetro total dessa janela é de 10 metros. Queremos descobrir qual é a área dessa janela em função da largura .
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de geometria:
  • Perímetro de um círculo completo: , onde é o raio.
  • Área de um círculo completo: .
Como temos apenas um semicírculo, vamos ajustar essas fórmulas para o nosso caso.

Passo 2

Vamos definir as variáveis:
  • : largura da janela (que também será o diâmetro do semicírculo).
  • : raio do semicírculo. Como é metade do diâmetro, temos .
  • : altura do retângulo.

Passo 3

Vamos calcular o perímetro da janela. O perímetro inclui:
  • Os dois lados verticais do retângulo: .
  • A base do retângulo: .
  • A circunferência do semicírculo: metade da circunferência total, ou seja, .
Então, o perímetro total é:
Sabemos que metros e . Substituindo:
Simplificando:
Agora, vamos isolar :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a área total da janela. A área é a soma da área do retângulo com a área do semicírculo.
Área do retângulo:
â
Área do semicírculo:
í
Então, a área total é:
âí

Passo 5

Agora, vamos substituir na fórmula da área:
Vamos distribuir o :
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:

Resposta

A área da janela em função da largura é:

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e
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