Uma janela normanda tem o formato de um retângulo em cima do qual se coloca um semicírculo. Se o perímetro da janela for de 10 m , . expresse a área da janela como uma função de sua largura .
Dica: Se preciso se o fato de que o comprimento da circunferência é e a área é , em que é o raio da circunferência.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma janela normanda que é composta por um retângulo na parte de baixo e um semicírculo em cima. O perímetro total dessa janela é de 10 metros. Queremos descobrir qual é a área dessa janela em função da largura .
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de geometria:
Perímetro de um círculo completo:, onde é o raio.
Área de um círculo completo:.
Como temos apenas um semicírculo, vamos ajustar essas fórmulas para o nosso caso.
Passo 2
Vamos definir as variáveis:
: largura da janela (que também será o diâmetro do semicírculo).
: raio do semicírculo. Como é metade do diâmetro, temos .
: altura do retângulo.
Passo 3
Vamos calcular o perímetro da janela. O perímetro inclui:
Os dois lados verticais do retângulo: .
A base do retângulo: .
A circunferência do semicírculo: metade da circunferência total, ou seja, .
Então, o perímetro total é:
Sabemos que metros e . Substituindo:
Simplificando:
Agora, vamos isolar :
Passo 4
Agora, vamos encontrar a área total da janela. A área é a soma da área do retângulo com a área do semicírculo.