Calcule as integrais
integralgamma y z d x+x z d y+x y d z, onde gamma é o segmento ligando os pontos (1,1,2) e (3,5,0).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
integralgamma y z , d x + x z , d y + x y , d z
onde é o segmento de reta que conecta os pontos e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas e substituir as variáveis na integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = 1 + (3 - 1)t = 1 + 2t y(t) = 1 + (5 - 1)t = 1 + 4t z(t) = 2 + (0 - 2)t = 2 - 2t . Como é um segmento de reta entre e , podemos usar uma parametrização linear. Seja variando de 0 a 1, então as componentes de , e são:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas das componentes em relação a dxdt = 2 dydt = 4 dzdt = -2 :
Essas derivadas nos servirão para substituir , e na integral original.

Passo 4

Substituindo as parametrizações na integral, temos:
integral0^1 [y(t) z(t) cdot dxdt + x(t) z(t) cdot dydt + x(t) y(t) cdot dzdt] , dt
Substituindo os valores:
integral0^1 [(1 + 4t)(2 - 2t) cdot 2 + (1 + 2t)(2 - 2t) cdot 4 + (1 + 2t)(1 + 4t) cdot (-2)] , dt

Passo 5

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
  1. (4 + 12t - 16t^2) + (8 + 8t - 16t^2) + (-2 - 12t - 16t^2) = 10 - 24t^2
  2. integral0^1 (10 - 24t^2) , dt = [10t - 8t^3]0^1 = (10 cdot 1 - 8 cdot 1) - (0) = 2
Somando os três termos:
Agora, a integral fica:

Resposta

O valor da integral é .

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