Jéssica quer comprar uma barra de chocolate que custa
. A máquina aceita pagamento com qualquer combinação com moedas de
ou cédulas de
e
. De quantas maneiras possíveis ela poderia pagar sua barra de chocolate?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A Jéssica quer comprar uma barra de chocolate que custa R$ 17,00. Ela pode pagar usando moedas de R$ 1,00 ou cédulas de R$ 2,00, R$ 5,00 e R$ 10,00. O nosso objetivo aqui é descobrir de quantas maneiras diferentes ela pode combinar essas moedas e cédulas para chegar exatamente em R$ 17,00. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que é o ramo da matemática que estuda as combinações possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis quantidades de cada tipo de cédula e moeda que somem até R$ 17,00. Vamos chamar:
-
de moedas de R$ 1,00 -
de cédulas de R$ 2,00 -
de cédulas de R$ 5,00 -
de cédulas de R$ 10,00
A equação que representa a soma total será:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação passo a passo. Vamos considerar todas as possibilidades para
(número de cédulas de R$ 10,00) que não deixem a soma ultrapassar R$ 17,00.
Como:
- Se
: Não usamos cédulas de R$ 10,00. - Se
: Usamos uma cédula de R$ 10,00 (10 reais) e precisamos somar mais R$ 7,00.
Não podemos usar mais de uma cédula de R$ 10,00 porque duas já seriam R$ 20,00, que é mais que R$ 17,00.
Passo 4
Vamos dividir em dois casos com base no valor de
:
Caso 1:
A equação fica:
A equação fica:
Agora, vamos encontrar todas as combinações de
e
que satisfazem essa equação, lembrando que
será determinado uma vez que
e
estejam definidos.
Caso 2:
Agora, a equação fica:
Agora, a equação fica:
Também aqui, vamos encontrar as combinações de
e
e depois determinar
.
Passo 5
Resolvendo o Caso 1 (
):
Vamos variar o valor de
de 0 a 3 (porque 5×4=20 >17):
-
: pode ir de 0 a 8 (porque 2×9=18 >17)
Cadadefine -
: de 0 a 6 -
: de 0 a 3 -
: de 0 a 1
Para cada valor de
, contamos as soluções possíveis para
e
.
Total de soluções no Caso 1: 9 (z=0) + 7 (z=1) + 4 (z=2) + 2 (z=3) = 22 maneiras
Resolvendo o Caso 2 (
):
Vamos variar
de 0 a 1 (porque 5×2=10 >7):
-
: de 0 a 3 -
: de 0 a 1
Total de soluções no Caso 2: 4 (z=0) + 2 (z=1) = 6 maneiras
Resposta
Somando os dois casos, Jéssica tem
maneiras diferentes de pagar a barra de chocolate de R$ 17,00.