(9,0 pontos) Integre as seguintes funções:
-(e) integral e^tg(2 x) sec ^2(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral de . Aqui, vamos usar o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas trocando de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para e , vemos que a derivada de é . Isso é perfeito para substituição!

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = tan(2x)
Agora, calculamos a derivada de dudx = 2sec^2(2x) em relação a dx = du2sec^2(2x) :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo integral e^tan(2x) sec^2(2x) , dx = integral e^u cdot sec^2(2x) cdot du2sec^2(2x) e = 12 integral e^u , du na integral original:
Observe que se cancela:

Passo 5

Agora, a integral está bem mais simples:
12 integral e^u , du = 12 e^u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo 12 e^tan(2x) + C :

Resposta

A integral de 12 e^tan(2x) + C é igual a:

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