(9,0 pontos) Integre as seguintes funções:
-(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral que envolve uma função racional. A questão pede para integrarmos em relação a . Para isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que é uma forma de simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Ou seja:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplificam a equação.
Primeiro, se :
Segundo, se :

Passo 6

Agora que temos e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A integral de é , então:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de é:

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Jéssica quer comprar uma barra de chocolate que custa . A máquina aceita pagamento com qualquer combinação com moedas de ou cédulas de e . De quantas maneiras possíveis ela poderia pagar sua barra de chocolate?
Quando D. Pedro I voltou para Portugal, seu filho, Pedro, tinha 6 anos de idade. Nove anos mais tarde, este foi coroado imperador com o título de D. Pedro II, permanecendo nesse cargo durante 49 anos. Passou os últimos 3 anos de sua vida destronado e faleceu em Paris, em 1892.
d) Em que ano foi destronado?
(9,0 pontos) Integre as seguintes funções:
-(e)
(9,0 pontos) Integre as seguintes funções:
  • (a) (1,0 ponto)