(9,0 pontos) Integre as seguintes funções:
-(b)
-(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral que envolve uma função racional. A questão pede para integrarmos
em relação a
. Para isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que é uma forma de simplificar integrais de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração
como uma soma de frações parciais. Ou seja:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplificam a equação.
Primeiro, se
:
Segundo, se
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A integral de
é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral de
é: