(9,0 pontos) Integre as seguintes funções:
-(b) integral -x+11x^2-2 x-3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral que envolve uma função racional. A questão pede para integrarmos em relação a . Para isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que é uma forma de simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração -x + 11(x - 3)(x + 1) = Ax - 3 + Bx + 1 como uma soma de frações parciais. Ou seja:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por -x + 11 = A(x + 1) + B(x - 3) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos resolver para -3 + 11 = A(3 + 1) + B(0) implies 8 = 4A implies A = 2 e 1 + 11 = A(0) + B(-1 - 3) implies 12 = -4B implies B = -3 . Podemos escolher valores de que simplificam a equação.
Primeiro, se :
Segundo, se :

Passo 6

Agora que temos -x + 11(x - 3)(x + 1) = 2x - 3 + -3x + 1 e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x - 3 dx + integral -3x + 1 dx
A integral de 2 ln|x - 3| - 3 ln|x + 1| + C é , então:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de 2 ln|x - 3| - 3 ln|x + 1| + C é:

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