Joana comprou um celular e dividiu o pagamento em 24 parcelas mensais que formam uma progressão aritmética crescente. As três primeiras parcelas foram de R$ 120,00, R$ 126,00 e R$ 132,00. Sabendo que, ao final, constatou-se que Joana não pagou a 19ª parcela, o valor pago por ela foi:
a) R$ 3.954,00
b) R$ 4.026,00
c) R$ 4.200,00
d) R$ 4.308,00
e) R$ 4.382,00

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a compra de um celular que Joana parcelou em 24 prestações mensais, que aumentam de valor de forma constante. Isso é o que chamamos de progressão aritmética (PA). As três primeiras parcelas são R$ 120, R$ 126 e R$ 132,00. Precisamos descobrir quanto Joana pagou no total, sabendo que ela deixou de pagar a 19ª parcela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a progressão aritmética. Em uma PA, cada termo depois do primeiro é obtido adicionando-se uma constante, chamada de razão (denotada por $ r $), ao termo anterior. No nosso caso:
  • $ a_1 = 120 $ (primeira parcela)
  • $ a_2 = 126 $
  • $ a_3 = 132 $
Para encontrar a razão $ r $, subtraímos o primeiro termo do segundo:
r
Então, a razão da PA é 6. Isso significa que cada parcela aumenta R$ 6,00 em relação à anterior.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor total que Joana deveria pagar nas 24 parcelas. A fórmula para a soma dos $ n $ primeiros termos de uma PA é:
n
Onde:
  • $ S_n $ é a soma dos $ n $ termos
  • $ a_1 $ é o primeiro termo
  • $ r $ é a razão
  • $ n $ é o número de termos
Substituindo os valores:
Sn = n2 times (2a1 + (n - 1)r)
Sn
n
a1
Então, o total das 24 parcelas seria R$ 4.536,00.

Passo 4

Mas Joana não pagou a 19ª parcela. Vamos descobrir quanto ela deixou de pagar nessa parcela. Para isso, usamos a fórmula do $ n $-ésimo termo de uma PA:
n
Queremos o valor da 19ª parcela ($ a_{19} $):
an = a1 + (n - 1)r
a19
a19 = 120 + (19 - 1) times 6
a19 = 120 + 18 times 6
Então, Joana deixou de pagar R$ 228,00 na 19ª parcela.

Passo 5

Agora, para encontrar o valor que Joana realmente pagou, subtraímos o valor da parcela que ela não pagou do total das 24 parcelas:
Total pago = S24 - a19
Total pago = 4.536 - 228
Total pago = 4.308

Resposta

A resposta correta é a letra d) R$ 4.308,00.

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