Joãozinho deseja levar um presente surpresa para Mariazinha que mora num apartamento que está a 100 m acima do solo. Mas, Joãozinho não deseja se encontrar com os pais de Mariazinha porque eles são muito bravos. Mariazinha está de castigo e não está frequentando às aulas na UFERSA. Joãozinho é um bom aluno do curso de Bacharelado em Ciência e Tecnologia. Ele constrói um dispositivo para lançar verticalmente o presente para Mariazinha. Considerando que a massa
e a constante elástica da mola é
. A deformação (compressão) na mola é
. Será que ele vai conseguir atingir a altura da janela de Mariazinha? Caso contrário, discuta como o dispositivo deveria ser alterado para que ele consiga alcançar a altura desejada. Lembre-se que a alteração do projeto deve considerar a relação custo-benefício.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. O Joãozinho quer lançar um presente usando uma mola para alcançar a janela da Mariazinha, que está a 100 metros de altura. A massa do presente é de 1,0 kg, a constante da mola é 20000 N/m e a mola foi comprimida 20,0 cm (ou 0,2 metros). Nosso objetivo é descobrir se esse lance vai funcionar, ou seja, se o presente vai realmente atingir os 100 metros. Se não der, vamos ver como ele pode modificar o dispositivo para conseguir, sem gastar demais.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a energia armazenada na mola quando ela está comprimida. A fórmula para a energia potencial elástica da mola é:
Onde:
-
é a energia potencial elástica, -
é a constante da mola, -
é a deformação da mola.
Vamos substituir os valores que temos:
Calculando:
Então, a mola armazena 400 Joules de energia quando está comprimida 20 cm.
Passo 3
Agora, vamos ver até que altura essa energia pode levar o presente. A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde:
-
é a energia potencial gravitacional, -
é a massa do objeto, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ), -
é a altura.
Assumindo que toda a energia da mola se transforma em energia gravitacional (o que é uma simplificação, mas serve para uma estimativa inicial), temos:
Resolvendo para
:
Passo 4
Então, com a mola comprimida 20 cm, o presente alcança aproximadamente 40,82 metros. Mas a Mariazinha está a 100 metros de altura, o que significa que o presente não vai atingir a janela dela dessa forma.
Passo 5
Vamos pensar em como o Joãozinho pode ajustar o dispositivo para alcançar os 100 metros. A equação que relaciona a energia da mola com a altura é:
Queremos que
. Vamos resolver para
mantendo a deformação da mola em 0,2 m:
Isso significa que a constante da mola precisaria ser de 49000 N/m para alcançar 100 metros com a mesma deformação.
Passo 6
Alternativamente, ele poderia aumentar a deformação da mola. Vamos ver quanto a mola precisaria ser comprimida para
e
:
Então, a mola precisaria ser comprimida cerca de 31,3 cm para alcançar 100 metros.
Passo 7
Considerando o custo-benefício, é mais viável aumentar a deformação da mola de 20 cm para aproximadamente 31,3 cm do que usar uma mola com uma constante muito maior, já que molas com constantes mais altas tendem a ser mais caras e difíceis de manejar.
Resposta
Não, com a mola comprimida 20 cm, o presente atinge cerca de 40,82 metros, o que não é suficiente para chegar aos 100 metros da janela da Mariazinha. Para alcançar a altura desejada, Joãozinho deve aumentar a compressão da mola para aproximadamente 31,3 cm, mantendo a constante elástica atual, o que é uma solução mais econômica.
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.
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.
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e
.
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