Um jogador de futebol está na borda de um prédio de 12 m de altura. Ele chuta a bola de massa 620 gramas fazendo um ângulo de 60^circ com o plano horizontal, aplicando uma força de 345 N por 0,24 segundos que é o tempo que o pé fica em contato com a bola.
A que distância horizontal do prédio a bola tocará o chão ?
Use g=9,81 m / s^2 para a aceleração da gravidade e despreze fontes de atrito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um jogador de futebol que chuta uma bola de um prédio de 12 metros de altura. A bola tem uma massa de 620 gramas e é chutada com uma força de 345 N por 0,24 segundos, formando um ângulo de 60^circ com o chão. Nosso objetivo é descobrir a que distância horizontal do prédio a bola vai tocar o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao movimento de projéteis e força aplicada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade inicial que a força aplicada dá para a bola. Para isso, usamos a relação entre força, tempo e mudança de velocidade, que vem da segunda lei de Newton e do conceito de impulso. A fórmula é:
F cdot De
Onde:
  • F é a força (345 N)
  • De é o tempo de aplicação da força (0,24 s)
  • m é a massa da bola (0,620 kg)
  • De é a mudança na velocidade que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos isolar De na fórmula:
De
Substituindo os valores:
De
Então, a velocidade inicial da bola é aproximadamente 133,226 , m/s.

Passo 4

Agora, vamos decompor essa velocidade inicial nas direções horizontal e vertical usando o ângulo de 60^circ. As fórmulas são:
v0x = v0 cdot cos(theta)
v0y = v0 cdot sin(theta)
Substituindo os valores:
v0x = 133,226 cdot cos(60^circ) = 133,226 cdot 0,5 approx 66,613 , m/s
v0y = 133,226 cdot sin(60^circ) = 133,226 cdot 0,8660 approx 115,272 , m/s

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o tempo total que a bola vai levar para chegar ao chão. Como a bola já começa a uma altura de 12 metros, vamos usar a equação do movimento vertical:
y = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2
Aqui, y será 0 quando a bola tocar o chão, y0 é 12 m, v0y é 115,272 m/s, e g é 9,81 m/s². Então:
0 = 12 + 115,272 cdot t - 12 cdot 9,81 cdot t^2
Isso resulta em uma equação quadrática:
-12 cdot 9,81 cdot t^2 + 115,272 cdot t + 12 = 0

Passo 6

Vamos reescrever a equação para facilitar:
-4,905 cdot t^2 + 115,272 cdot t + 12 = 0
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = -4,905
  • b = 115,272
  • c = 12
Calculando o discriminante:
De
Então,
t = -115,272 pm raiz13522,052 cdot (-4,905) approx -115,272 pm 116,31-9,81
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
t = -115,272 + 116,31-9,81 approx 1,038-9,81 approx -0,106 , s (Descartamos)
t = -115,272 - 116,31-9,81 approx -231,582-9,81 approx 23,62 , s
Então, o tempo total de queda é aproximadamente 23,62 , s.

Passo 7

Por último, para encontrar a distância horizontal, usamos a velocidade horizontal e o tempo total:
d = v0x cdot t = 66,613 , m/s cdot 23,62 , s approx 1571,5 , m

Resposta

A bola tocará o chão aproximadamente a 1571,5 metros de distância horizontal do prédio.

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