Um jogador paga a e lança um dado. Se sair face 3 , ganha . Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha . Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja o lucro líquido do jogador nesse jogo.
Determinar:
c) .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e o que vamos precisar para resolver. Temos um jogo de apostas envolvendo lançamentos de dados. O jogador paga R$ 5,00 para participar e pode ganhar ou perder dinheiro dependendo do resultado dos lançamentos. Nosso objetivo aqui é determinar a variância de , que representa o lucro líquido do jogador . Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente cálculo de variância, que nos ajuda a entender a dispersão dos possíveis lucros em torno da média.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que podem ocorrer no jogo e os respectivos resultados financeiros para o jogador .
  1. Primeiro Lançamento:
    • Face 3: O jogador ganha R$ 20,00.
    • Faces 4, 5 ou 6: O jogador perde o dinheiro, ou seja, perde R$ 5,00.
    • Faces 1 ou 2: O jogador tem direito a jogar novamente.
  2. Segundo Lançamento (se aplicável):
    • Duas faces 6: O jogador ganha R$ 50,00.
    • Uma face 6: O jogador recebe de volta o dinheiro pago, ou seja, não ganha nem perde (lucro líquido de R$ 0,00).
    • Outros casos: O jogador perde R$ 5,00.

Passo 3

Vamos calcular as probabilidades de cada uma dessas situações.
  1. Probabilidades do Primeiro Lançamento:
    • Face 3: Há 1 face favorável, então a probabilidade é .
    • Faces 4, 5 ou 6: São 3 faces favoráveis, então a probabilidade é .
    • Faces 1 ou 2: São 2 faces favoráveis, então a probabilidade é .
  2. Probabilidades do Segundo Lançamento (quando ocorre):
    • Duas faces 6: Há apenas 1 combinação possível em dois dados, então a probabilidade é .
    • Uma face 6: Existem 10 combinações onde apenas um dado mostra 6, então a probabilidade é .
    • Outros casos: As demais 25 combinações, então a probabilidade é .

Passo 4

Agora, vamos determinar o lucro líquido em cada cenário:
  1. Se sair face 3 no primeiro lançamento:
    • Lucro: R$ 20,00
    • Custo: R$ 5,00
    • Lucro líquido ( ): R$ 15,00
  2. Se sair faces 4, 5 ou 6 no primeiro lançamento:
    • Perda: R$ 5,00
    • Lucro líquido ( ): -R$ 5,00
  3. Se sair faces 1 ou 2 no primeiro lançamento e então:
    • Duas faces 6:
      • Ganho: R$ 50,00
      • Custo: R$ 5,00
      • Lucro líquido ( ): R$ 45,00
    • Uma face 6:
      • Recebe de volta o valor pago
      • Custo: R$ 5,00
      • Lucro líquido ( ): R$ 0,00
    • Outros casos:
      • Perde: R$ 5,00
      • Lucro líquido ( ): -R$ 5,00

Passo 5

Vamos agora calcular a variância . A fórmula da variância é:
Primeiro, precisamos calcular a esperança matemática e .

Passo 6

Calculando :
Vamos calcular para cada cenário:
  1. Face 3:
    • Contribuição:
  2. Faces 4, 5 ou 6:
    • Contribuição:
  3. Faces 1 ou 2 e duas faces 6:
    • Contribuição:
  4. Faces 1 ou 2 e uma face 6:
    • Contribuição:
  5. Faces 1 ou 2 e outros casos:
    • Contribuição:
Somando tudo:

Passo 7

Calculando :
Vamos calcular para cada cenário:
  1. Face 3:
    • Contribuição:
  2. Faces 4, 5 ou 6:
    • Contribuição:
  3. Faces 1 ou 2 e duas faces 6:
    • Contribuição:
  4. Faces 1 ou 2 e uma face 6:
    • Contribuição:
  5. Faces 1 ou 2 e outros casos:
    • Contribuição:
Somando tudo:

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da variância:
Substituindo os valores:

Resposta

A variância do lucro líquido do jogador é aproximadamente 71,51.

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Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de .
b Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão indenizados?
Dada a tabela:
0 1 2 3 4 5
0
b) Calcule e ;
Uma pessoa vende colhedeiras de milho. Visita semanalmente uma, duas ou três propriedades rurais com probabilidades e 0,3 , respectivamente. De cada contato pode conseguir a venda de 1 colhedeira por com probabilidade 0,3 , ou nenhuma venda com probabilidade 0,7 . Determinar o valor total esperado (médio) das vendas semanais.
Comente sobre os formatos dos dados (assimetria, posição, variabilidade, modalidade (modas)), além da presença ou não de outliers.