Um jogador A paga R a a e lança um dado. Se sair face 3 , ganha e lança um dado Se sair face 3 , ganha . Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha 20,00. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja R o lucro líquido do jogador Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de vo nesse jogo.
Determinar:
c) o lucro líquido do jogador .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e o que vamos precisar para resolver. Temos um jogo de apostas envolvendo lançamentos de dados. O jogador A paga R$ 5,00 para participar e pode ganhar ou perder dinheiro dependendo do resultado dos lançamentos. Nosso objetivo aqui é determinar a variância de 5,00 para participar e pode ganhar ou perder dinheiro dependendo do resu, que representa o lucro líquido do jogador , que representa o lucro líquido do jogador . Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente cálculo de variância, que nos ajuda a entender a dispersão dos possíveis lucros em torno da média.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que podem ocorrer no jogo e os respectivos resultados financeiros para o jogador A.
  1. Primeiro Lançamento:
    • Face 3: O jogador ganha R$ 20,00.
    • Faces 4, 5 ou 6: O jogador perde o dinheiro, ou seja, perde R$ 5,00.
    • Faces 1 ou 2: O jogador tem direito a jogar novamente.
  2. Segundo Lançamento (se aplicável):
    • Duas faces 6: O jogador ganha R$ 50,00.
    • Uma face 6: O jogador recebe de volta o dinheiro pago, ou seja, não ganha nem perde (lucro líquido de R$ 0,00).
    • Outros casos: O jogador perde R$ 5,00.

Passo 3

Vamos calcular as probabilidades de cada uma dessas situações.
  1. Probabilidades do Primeiro Lançamento:
    • Face 3: Há 1 face favorável, então a probabilidade é 16.
    • Faces 4, 5 ou 6: São 3 faces favoráveis, então a probabilidade é 36 = 12.
    • Faces 1 ou 2: São 2 faces favoráveis, então a probabilidade é 26 = 13.
  2. Probabilidades do Segundo Lançamento (quando ocorre):
    • Duas faces 6: Há apenas 1 combinação possível em dois dados, então a probabilidade é 136.
    • Uma face 6: Existem 10 combinações onde apenas um dado mostra 6, então a probabilidade é 1036 = 518.
    • Outros casos: As demais 25 combinações, então a probabilidade é 2536.

Passo 4

Agora, vamos determinar o lucro líquido X em cada cenário:
  1. Se sair face 3 no primeiro lançamento:
    • Lucro: R$ 20,00
    • Custo: R$ 5,00
    • Lucro líquido ( 20,00 - Custo: R): R$ 15,00
  2. Se sair faces 4, 5 ou 6 no primeiro lançamento:
    • Perda: R$ 5,00
    • Lucro líquido ( X): -R$ 5,00
  3. Se sair faces 1 ou 2 no primeiro lançamento e então:
    • Duas faces 6:
      • Ganho: R$ 50,00
      • Custo: R$ 5,00
      • Lucro líquido ( 15,00 2 **Se sair faces 4, 5 ou 6 no primeiro lançamento:** - Perda: R): R$ 45,00
    • Uma face 6:
      • Recebe de volta o valor pago
      • Custo: R$ 5,00
      • Lucro líquido ( X): R$ 0,00
    • Outros casos:
      • Perde: R$ 5,00
      • Lucro líquido ( 5,00 3 **Se sair faces 1 ou 2 no primeiro lançamento e então:** - **Duas faces 6:** - Ganho: R): -R$ 5,00

Passo 5

Vamos agora calcular a variância VAR(X). A fórmula da variância é:
VAR(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, precisamos calcular a esperança matemática E(X) e E(X^2).

Passo 6

Calculando E(X):
E(X) = sum (xi cdot P(xi))
Vamos calcular para cada cenário:
  1. Face 3:
    • x = 15
    • P = 16
    • Contribuição: 15 cdot 16 = 2,5
  2. Faces 4, 5 ou 6:
    • x = -5
    • P = 12
    • Contribuição: -5 cdot 12 = -2,5
  3. Faces 1 ou 2 e duas faces 6:
    • x = 45
    • P = 13 cdot 136 = 1108
    • Contribuição: 45 cdot 1108 approx 0,4167
  4. Faces 1 ou 2 e uma face 6:
    • x = 0
    • P = 13 cdot 518 = 554
    • Contribuição: 0 cdot 554 = 0
  5. Faces 1 ou 2 e outros casos:
    • x = -5
    • P = 13 cdot 2536 = 25108
    • Contribuição: -5 cdot 25108 approx -1,1574
Somando tudo:
E(X) = 2,5 - 2,5 + 0,4167 + 0 - 1,1574 approx -1,7407

Passo 7

Calculando E(X^2):
E(X^2) = sum (xi^2 cdot P(xi))
Vamos calcular para cada cenário:
  1. Face 3:
    • x = 15
    • x^2 = 225
    • P = 16
    • Contribuição: 225 cdot 16 = 37,5
  2. Faces 4, 5 ou 6:
    • x = -5
    • x^2 = 25
    • P = 12
    • Contribuição: 25 cdot 12 = 12,5
  3. Faces 1 ou 2 e duas faces 6:
    • x = 45
    • x^2 = 2025
    • P = 1108
    • Contribuição: 2025 cdot 1108 approx 18,75
  4. Faces 1 ou 2 e uma face 6:
    • x = 0
    • x^2 = 0
    • P = 554
    • Contribuição: 0 cdot 554 = 0
  5. Faces 1 ou 2 e outros casos:
    • x = -5
    • x^2 = 25
    • P = 25108
    • Contribuição: 25 cdot 25108 approx 5,7870
Somando tudo:
E(X^2) = 37,5 + 12,5 + 18,75 + 0 + 5,7870 approx 74,5370

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da variância:
VAR(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Substituindo os valores:
VAR(X) = 74,5370 - (-1,7407)^2 approx 74,5370 - 3,0304 approx 71,5066

Resposta

A variância VAR(X) do lucro líquido do jogador A é aproximadamente 71,51.

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