Um jogador
paga
a
e lança um dado. Se sair face 3 , ganha
. Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha
. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja
o lucro líquido do jogador
nesse jogo.
Determinar:
c)
.
Determinar:
c)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e o que vamos precisar para resolver. Temos um jogo de apostas envolvendo lançamentos de dados. O jogador
paga R$ 5,00 para participar e pode ganhar ou perder dinheiro dependendo do resultado dos lançamentos. Nosso objetivo aqui é determinar a variância de
, que representa o lucro líquido do jogador
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente cálculo de variância, que nos ajuda a entender a dispersão dos possíveis lucros em torno da média.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que podem ocorrer no jogo e os respectivos resultados financeiros para o jogador
.
-
Primeiro Lançamento:
- Face 3: O jogador ganha R$ 20,00.
- Faces 4, 5 ou 6: O jogador perde o dinheiro, ou seja, perde R$ 5,00.
- Faces 1 ou 2: O jogador tem direito a jogar novamente.
-
Segundo Lançamento (se aplicável):
- Duas faces 6: O jogador ganha R$ 50,00.
- Uma face 6: O jogador recebe de volta o dinheiro pago, ou seja, não ganha nem perde (lucro líquido de R$ 0,00).
- Outros casos: O jogador perde R$ 5,00.
Passo 3
Vamos calcular as probabilidades de cada uma dessas situações.
-
Probabilidades do Primeiro Lançamento:
- Face 3: Há 1 face favorável, então a probabilidade é
. - Faces 4, 5 ou 6: São 3 faces favoráveis, então a probabilidade é
. - Faces 1 ou 2: São 2 faces favoráveis, então a probabilidade é
.
- Face 3: Há 1 face favorável, então a probabilidade é
-
Probabilidades do Segundo Lançamento (quando ocorre):
- Duas faces 6: Há apenas 1 combinação possível em dois dados, então a probabilidade é
. - Uma face 6: Existem 10 combinações onde apenas um dado mostra 6, então a probabilidade é
. - Outros casos: As demais 25 combinações, então a probabilidade é
.
- Duas faces 6: Há apenas 1 combinação possível em dois dados, então a probabilidade é
Passo 4
Agora, vamos determinar o lucro líquido
em cada cenário:
-
Se sair face 3 no primeiro lançamento:
- Lucro: R$ 20,00
- Custo: R$ 5,00
- Lucro líquido (
): R$ 15,00
-
Se sair faces 4, 5 ou 6 no primeiro lançamento:
- Perda: R$ 5,00
- Lucro líquido (
): -R$ 5,00
-
Se sair faces 1 ou 2 no primeiro lançamento e então:
- Duas faces 6:
- Ganho: R$ 50,00
- Custo: R$ 5,00
- Lucro líquido (
): R$ 45,00
- Uma face 6:
- Recebe de volta o valor pago
- Custo: R$ 5,00
- Lucro líquido (
): R$ 0,00
- Outros casos:
- Perde: R$ 5,00
- Lucro líquido (
): -R$ 5,00
- Duas faces 6:
Passo 5
Vamos agora calcular a variância
. A fórmula da variância é:
Primeiro, precisamos calcular a esperança matemática
e
.
Passo 6
Calculando
:
Vamos calcular para cada cenário:
-
Face 3:
-
-
- Contribuição:
-
-
Faces 4, 5 ou 6:
-
-
- Contribuição:
-
-
Faces 1 ou 2 e duas faces 6:
-
-
- Contribuição:
-
-
Faces 1 ou 2 e uma face 6:
-
-
- Contribuição:
-
-
Faces 1 ou 2 e outros casos:
-
-
- Contribuição:
-
Somando tudo:
Passo 7
Calculando
:
Vamos calcular para cada cenário:
-
Face 3:
-
-
-
- Contribuição:
-
-
Faces 4, 5 ou 6:
-
-
-
- Contribuição:
-
-
Faces 1 ou 2 e duas faces 6:
-
-
-
- Contribuição:
-
-
Faces 1 ou 2 e uma face 6:
-
-
-
- Contribuição:
-
-
Faces 1 ou 2 e outros casos:
-
-
-
- Contribuição:
-
Somando tudo:
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula da variância:
Substituindo os valores:
Resposta
A variância
do lucro líquido do jogador
é aproximadamente 71,51.
Exercícios relacionados
Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de
.
b Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão indenizados?
b Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão indenizados?
Dada a tabela:
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
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0 |
|
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b) Calcule
e
;
Uma pessoa vende colhedeiras de milho. Visita semanalmente uma, duas ou três propriedades rurais com probabilidades
e 0,3 , respectivamente. De cada contato pode conseguir a venda de 1 colhedeira por
com probabilidade 0,3 , ou nenhuma venda com probabilidade 0,7 . Determinar o valor total esperado (médio) das vendas semanais.
Comente sobre os formatos dos dados (assimetria, posição, variabilidade, modalidade (modas)), além da presença ou não de outliers.