Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 95 %.
b Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão indenizados?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Um produtor vende pacotes com 15 sementes cada. Se mais de duas sementes em um pacote não germinarem, ele precisa indenizar o comprador. Sabemos que a probabilidade de uma semente germinar é de 95%. Precisamos descobrir, de 2000 pacotes vendidos, quantos serão indenizados. Para resolver isso, vamos utilizar a Distribuição Binomial, que é útil quando estamos lidando com eventos que têm dois resultados possíveis (neste caso, germinar ou não germinar).

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da distribuição binomial para este problema:
  • n: número de tentativas (sementes por pacote) = 15
  • p: probabilidade de sucesso (germinar) = 0,95
  • q: probabilidade de fracasso (não germinar) = 1 - p = 0,05

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que mais de duas sementes não germinem em um pacote. Isso significa que o número de sementes que não germinam, k, deve ser maior que 2.
Matematicamente, isso é representado como:
P(k > 2) = 1 - P(k <= 2)

Passo 4

Vamos calcular P(k) = C(n, k) times p^n - k times q^k , que é a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 sementes que não germinam. Vamos usar a fórmula da distribuição binomial:
Onde é o coeficiente binomial, que calcula as combinações de n elementos tomados k a k.

Passo 5

Calculando P(0) = C(15, 0) times 0,95^15 times 0,05^0 = 1 times 0,95^15 times 1 approx 0,4633 :

Passo 6

Calculando P(1) = C(15, 1) times 0,95^14 times 0,05^1 = 15 times 0,95^14 times 0,05 approx 0,3662 :

Passo 7

Calculando P(2) = C(15, 2) times 0,95^13 times 0,05^2 = 105 times 0,95^13 times 0,0025 approx 0,1555 :

Passo 8

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar P(k <= 2) = P(0) + P(1) + P(2) approx 0,4633 + 0,3662 + 0,1555 approx 0,985 :

Passo 9

Então, a probabilidade de ter mais de duas sementes que não germinam é:
P(k > 2) = 1 - P(k <= 2) approx 1 - 0,985 = 0,015

Passo 10

Agora, queremos saber quantos pacotes, de 2000 vendidos, serão indenizados. Isso é dado por:
Número esperado = 2000 times P(k > 2) = 2000 times 0,015 = 30 ú

Resposta

O número esperado de pacotes que serão indenizados é 30.

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