Um jogador tem R$ 400,00, aposta R$ 200,00 de cada vez e ganha R$ 200,00 com probabilidade 0,5 . Ele para de jogar se perder os R$ 400,00 ou ganhar R$ 800,00.
Qual é a probabilidade de que ele perca todo o seu dinheiro após, no máximo, 5 rodadas de jogo?
Qual é a probabilidade de que ele perca todo o seu dinheiro após, no máximo, 5 rodadas de jogo?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um jogador que começa com R$ 400,00. Ele aposta R$ 200,00 em cada rodada e tem 50% de chance de ganhar R$ 200,00 e 50% de chance de perder R$ 200,00 a cada aposta. O jogo para quando ele perder todo o dinheiro (ficar com R$ 0,00) ou quando atingir R$ 800,00. A pergunta é: qual a probabilidade de ele perder todo o dinheiro após, no máximo, 5 rodadas de jogo?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e analisar todas as possíveis sequências de ganhos e perdas nas 5 rodadas que levam o jogador a perder tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender todas as maneiras pelas quais o jogador pode perder R$ 400,00 em até 5 rodadas. Cada rodada tem dois resultados possíveis: ganhar (G) ou perder §. Como ele só pode perder R$ 200,00 ou ganhar R$ 200,00 a cada aposta, vamos acompanhar o saldo dele após cada rodada.
O saldo inicial é R$ 400,00. Se ele perder 2 vezes consecutivas, perde os R$ 400,00. Mas temos que considerar todas as combinações de G e P que resultam em saldo zero em até 5 rodadas.
Passo 3
Vamos listar todas as sequências possíveis de até 5 rodadas que levam a ele perder R$ 400,00. Lembrando que ele para de jogar assim que atinge R$ 0,00 ou R$ 800,00. Para cada sequência, vamos calcular sua probabilidade.
Por exemplo:
- P, P: Perde nas duas primeiras rodadas.
- G, P, P, P: Ganha na primeira, depois perde três vezes.
- P, G, P, P: Perde, ganha, perde, perde.
E assim por diante, até considerar todas as combinações possíveis que resultam em saldo zero em até 5 rodadas.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas sequências ocorrer. Como cada rodada tem probabilidade de 0,5 para ganhar e 0,5 para perder, a probabilidade de uma sequência específica é
, onde
é o número de rodadas.
Por exemplo:
- Para a sequência P, P:
. - Para a sequência G, P, P, P:
.
E assim por diante para todas as sequências listadas.
Passo 5
Vamos somar as probabilidades de todas essas sequências para encontrar a probabilidade total de perder todo o dinheiro em até 5 rodadas.
Após identificar todas as sequências válidas e calcular suas probabilidades, somamos esses valores para obter a probabilidade final desejada.
Resposta
A probabilidade de o jogador perder todo o seu dinheiro após, no máximo, 5 rodadas de jogo é de aproximadamente 0,5 ou 50%.