Três máquinas, A, B e C, produzem, respectivamente, 48 %, 33 % e 19 % do número total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas na produção dessas máquinas são, respectivamente, 3 %, 4 % e 5 %. Uma peça é selecionada ao acaso e constata-se ser ela defeituosa.
Encontre a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina B.

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo três máquinas de produção: A, B e C. O objetivo é descobrir a probabilidade de uma peça defeituosa ter sido produzida pela máquina B. Para isso, usaremos conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades de cada máquina produzir uma peça:
  • Máquina A: 48% das peças
  • Máquina B: 33% das peças
  • Máquina C: 19% das peças
Essas porcentagens representam a probabilidade de uma peça ser produzida por cada máquina, ou seja:

Passo 3

Em seguida, consideramos as probabilidades de uma peça ser defeituosa em cada máquina:
  • Máquina A: 3%
  • Máquina B: 4%
  • Máquina C: 5%
Convertendo para probabilidades:
Aqui, representa a probabilidade da peça ser defeituosa dado que foi produzida pela máquina X.

Passo 4

Queremos encontrar P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D) , a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina B dado que ela é defeituosa. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:

Passo 5

Precisamos calcular P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) + P(D|C) cdot P(C) , que é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Usamos a regra da probabilidade total:
P(D) = (0,03 cdot 0,48) + (0,04 cdot 0,33) + (0,05 cdot 0,19)
Substituindo os valores:
P(D) = 0,0144 + 0,0132 + 0,0095 = 0,0371

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes com os valores encontrados:
P(B|D) = 0,04 cdot 0,330,0371 = 0,01320,0371 approx 0,3553

Resposta

A probabilidade de a peça defeituosa ter sido produzida pela máquina B é aproximadamente 35,53%.

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