Três máquinas, A, B e C, produzem, respectivamente,
e
do número total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas na produção dessas máquinas são, respectivamente,
e
. Uma peça é selecionada ao acaso e constata-se ser ela defeituosa.
Encontre a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina B.
Encontre a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina B.
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo três máquinas de produção: A, B e C. O objetivo é descobrir a probabilidade de uma peça defeituosa ter sido produzida pela máquina B. Para isso, usaremos conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades de cada máquina produzir uma peça:
- Máquina A: 48% das peças
- Máquina B: 33% das peças
- Máquina C: 19% das peças
Essas porcentagens representam a probabilidade de uma peça ser produzida por cada máquina, ou seja:
Passo 3
Em seguida, consideramos as probabilidades de uma peça ser defeituosa em cada máquina:
- Máquina A: 3%
- Máquina B: 4%
- Máquina C: 5%
Convertendo para probabilidades:
Aqui,
representa a probabilidade da peça ser defeituosa dado que foi produzida pela máquina X.
Passo 4
Queremos encontrar
, a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina B dado que ela é defeituosa. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
Passo 5
Precisamos calcular
, que é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes com os valores encontrados:
Resposta
A probabilidade de a peça defeituosa ter sido produzida pela máquina B é aproximadamente 35,53%.