Considere que e são três eventos quaisquer de um espaço amostral e com probabilidades de ocorrência diferentes de zero.
Julgue as afirmações:
(I) .
(II) Se dois eventos e são mutuamente exclusivos e exaustivos, eles são independentes.
(III) , com desigualdade estrita se, e somente se, os eventos forem independentes.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem três eventos quaisquer, , e , dentro de um espaço amostral , onde cada um desses eventos tem uma probabilidade maior que zero de acontecer. O objetivo aqui é analisar três afirmações sobre probabilidades desses eventos e julgar se são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de probabilidade, como probabilidade condicional, eventos mutuamente exclusivos, exaustivos e independência.

Passo 2

Vamos começar com a Afirmação I:
Probabilidade Condicional é a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. A fórmula da probabilidade condicional é:
Agora, vamos calcular o quociente das duas probabilidades condicionais:
Então, a afirmação está CORRETA.

Passo 3

Vamos para a Afirmação II:
“Se dois eventos e são mutuamente exclusivos e exaustivos, eles são independentes.”
Eventos Mutuamente Exclusivos são aqueles que não podem acontecer ao mesmo tempo, ou seja, .
Eventos Exaustivos são aqueles que cobrem todo o espaço amostral, então .
Eventos Independentes satisfazem .
Vamos analisar:
  • Se e são mutuamente exclusivos, .
  • Para serem independentes, precisaríamos que .
  • Mas sabemos que e , então .
Isso é uma contradição, então e NÃO PODEM ser independentes se forem mutuamente exclusivos e exaustivos. Portanto, a afirmação é FALSA.

Passo 4

Agora, vamos ver a Afirmação III:
com desigualdade estrita se, e somente se, os eventos forem independentes.
Sabemos que, em geral:
Isso sempre garante que:
A parte da desigualdade estrita significa que a soma das probabilidades é maior que a probabilidade da união. Porém, a relação com independência não é direta. Mesmo se os eventos forem independentes, isso não garante que a desigualdade seja estrita, já que a independência afeta as interseções dos eventos de uma maneira diferente. Além disso, a desigualdade pode ser estrita mesmo quando os eventos não são independentes. Portanto, a parte da afirmação que liga a desigualdade estrita à independência é incorreta. Assim, a afirmação é FALSA.

Resposta

  • Afirmação I: Verdadeira.
  • Afirmação II: Falsa.
  • Afirmação III: Falsa.

Exercícios relacionados

Um jogador tem R$ 400,00, aposta R$ 200,00 de cada vez e ganha R$ 200,00 com probabilidade 0,5 . Ele para de jogar se perder os R$ 400,00 ou ganhar R$ 800,00.
Qual é a probabilidade de que ele perca todo o seu dinheiro após, no máximo, 5 rodadas de jogo?
A probabilidade de que uma nova bateria de carro funcione por mais de 16 mil quilômetros é de ; a probabilidade de que funcione por mais de 32 mil quilômetros é de ; e a probabilidade que funciona por mais de 48 mil quilômetros é de . Se uma nova bateria de carro ainda funciona após 16 mil quilômetros, qual é a probabilidade de que:
a) sua vida útil total excederá 32 mil quilômetros?
b) sua vida útil total excederá 48 mil quilômetros?
Nestas condições encontre o valor de para que a probabilidade do do erro estar entre e seja de aproximadamente 0,95 .