Considere que
e
são três eventos quaisquer de um espaço amostral
e com probabilidades de ocorrência diferentes de zero.
Julgue as afirmações:
(I)
.
(II) Se dois eventos
e
são mutuamente exclusivos e exaustivos, eles são independentes.
(III)
, com desigualdade estrita se, e somente se, os eventos forem independentes.
Julgue as afirmações:
(I)
(II) Se dois eventos
(III)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem três eventos quaisquer,
,
e
, dentro de um espaço amostral
, onde cada um desses eventos tem uma probabilidade maior que zero de acontecer. O objetivo aqui é analisar três afirmações sobre probabilidades desses eventos e julgar se são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de probabilidade, como probabilidade condicional, eventos mutuamente exclusivos, exaustivos e independência.
Passo 2
Vamos começar com a Afirmação I:
Probabilidade Condicional é a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. A fórmula da probabilidade condicional é:
Agora, vamos calcular o quociente das duas probabilidades condicionais:
Então, a afirmação está CORRETA.
Passo 3
Vamos para a Afirmação II:
“Se dois eventos e
são mutuamente exclusivos e exaustivos, eles são independentes.”
“Se dois eventos
Eventos Mutuamente Exclusivos são aqueles que não podem acontecer ao mesmo tempo, ou seja,
.
Eventos Exaustivos são aqueles que cobrem todo o espaço amostral, então
.
Eventos Independentes satisfazem
.
Vamos analisar:
- Se
e são mutuamente exclusivos, . - Para serem independentes, precisaríamos que
. - Mas sabemos que
e , então .
Isso é uma contradição, então
e
NÃO PODEM ser independentes se forem mutuamente exclusivos e exaustivos. Portanto, a afirmação é FALSA.
Passo 4
Agora, vamos ver a Afirmação III:
com desigualdade estrita se, e somente se, os eventos forem independentes.
Sabemos que, em geral:
Isso sempre garante que:
A parte da desigualdade estrita significa que a soma das probabilidades é maior que a probabilidade da união. Porém, a relação com independência não é direta. Mesmo se os eventos forem independentes, isso não garante que a desigualdade seja estrita, já que a independência afeta as interseções dos eventos de uma maneira diferente. Além disso, a desigualdade pode ser estrita mesmo quando os eventos não são independentes. Portanto, a parte da afirmação que liga a desigualdade estrita à independência é incorreta. Assim, a afirmação é FALSA.
Resposta
- Afirmação I: Verdadeira.
- Afirmação II: Falsa.
- Afirmação III: Falsa.