Considere que A, B e C são três eventos quaisquer de um espaço amostral S e com probabilidades de ocorrência diferentes de zero.
Julgue as afirmações:
(I) P(A mid B)P(B mid A)=P(A)P(B).
(II) Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos e exaustivos, eles são independentes.
(III) P(A cup B cup C) <= P(A)+P(B)+P(C), com desigualdade estrita se, e somente se, os eventos forem independentes.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem três eventos quaisquer, , e , dentro de um espaço amostral , onde cada um desses eventos tem uma probabilidade maior que zero de acontecer. O objetivo aqui é analisar três afirmações sobre probabilidades desses eventos e julgar se são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de probabilidade, como probabilidade condicional, eventos mutuamente exclusivos, exaustivos e independência.

Passo 2

Vamos começar com a Afirmação I:
P(A mid B)P(B mid A) = P(A)P(B)
Probabilidade Condicional é a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. A fórmula da probabilidade condicional é:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
P(B mid A) = P(A cap B)P(A)
Agora, vamos calcular o quociente das duas probabilidades condicionais:
Então, a afirmação está CORRETA.

Passo 3

Vamos para a Afirmação II:
“Se dois eventos e são mutuamente exclusivos e exaustivos, eles são independentes.”
Eventos Mutuamente Exclusivos são aqueles que não podem acontecer ao mesmo tempo, ou seja, .
Eventos Exaustivos são aqueles que cobrem todo o espaço amostral, então .
Eventos Independentes satisfazem .
Vamos analisar:
  • Se e são mutuamente exclusivos, .
  • Para serem independentes, precisaríamos que .
  • Mas sabemos que e , então .
Isso é uma contradição, então e NÃO PODEM ser independentes se forem mutuamente exclusivos e exaustivos. Portanto, a afirmação é FALSA.

Passo 4

Agora, vamos ver a Afirmação III:
P(A cup B cup C) <= P(A) + P(B) + P(C),
com desigualdade estrita se, e somente se, os eventos forem independentes.
Sabemos que, em geral:
P(A cup B cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A cap B) - P(A cap C) - P(B cap C) + P(A cap B cap C)
Isso sempre garante que:
P(A cup B cup C) <= P(A) + P(B) + P(C)
A parte da desigualdade estrita significa que a soma das probabilidades é maior que a probabilidade da união. Porém, a relação com independência não é direta. Mesmo se os eventos forem independentes, isso não garante que a desigualdade seja estrita, já que a independência afeta as interseções dos eventos de uma maneira diferente. Além disso, a desigualdade pode ser estrita mesmo quando os eventos não são independentes. Portanto, a parte da afirmação que liga a desigualdade estrita à independência é incorreta. Assim, a afirmação é FALSA.

Resposta

  • Afirmação I: Verdadeira.
  • Afirmação II: Falsa.
  • Afirmação III: Falsa.

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