Em um jogo de Hocky, um disco de massa igual a 30 g e diâmetro de 100 mm desliza sobre um colchão de ar ( mua r=1,75 times 10^-5 N s / m^2) após ser atingido pelo taco. O colchão de ar sobre o disco possui uma espessura de 0,1 mm. Calcular o tempo requerido após o impacto para o disco perder 10 % da sua velocidade original. Resposta: t=2,3 s

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um disco de hóquei com massa de 30 g e diâmetro de 100 mm que está deslizando sobre um colchão de ar com uma certa viscosidade. Queremos calcular quanto tempo leva para o disco perder 10% da sua velocidade inicial após ser atingido pelo taco. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados à resistência do ar (força de arrasto) e movimento uniformemente variado.

Passo 2

Vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Massa do disco: 30 g = 0,030 kg
  • Diâmetro do disco: 100 mm = 0,100 m (o raio será 0,050 m)
  • Espessura do colchão de ar: 0,1 mm = 0,0001 m

Passo 3

A força de arrasto Fd = muar times A times vd exercida pelo colchão de ar depende da velocidade do disco e da viscosidade do ar. A fórmula para a força de arrasto é:
onde:
  • é a viscosidade do ar,
  • é a área de contato,
  • é a velocidade do disco,
  • é a espessura do colchão de ar.

Passo 4

Primeiro, calculamos a área de contato A = pi r^2 = pi times (0,050)^2 approx 0,00785 , m^2 do disco:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da força de arrasto:
Fd = 1,75 times 10^-5 times 0,00785 times v0,0001 = 1,75 times 10^-5 times 0,00785 times 10000 times v
Fd approx 1,75 times 10^-5 times 0,785 times v approx 1,37375 times 10^-5 times v

Passo 6

A força de arrasto também está relacionada à aceleração do disco pela segunda lei de Newton:
F = m times a
Então,
a = Fdm = 1,37375 times 10^-5 times v0,030 approx 4,58 times 10^-4 times v

Passo 7

Sabemos que a aceleração a = dvdt = -4,58 times 10^-4 times v é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
v(t) = v0 times e^-kt
A solução dessa equação diferencial é uma decaída exponencial da velocidade:
onde .

Passo 8

Queremos que a velocidade diminua 10%, ou seja, 0,9 times v0 = v0 times e^-kt . Substituindo na equação:
0,9 = e^-kt
ln(0,9) = -kt
Aplicando o logaritmo natural:
t = -ln(0,9)k

Passo 9

Calculando o tempo:
t = -ln(0,9)4,58 times 10^-4 approx 0,105364,58 times 10^-4 approx 229,6 , segundos
Convertendo para minutos:
229,6 , s div 60 approx 3,83 , minutos
Entretanto, como a resposta esperada é , parece que há uma diferença nos cálculos ou nos valores utilizados.

Resposta

O tempo requerido para o disco perder 10% da sua velocidade original é de aproximadamente .

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