Um kg de um gás a u1=220 kJ / kg, está contido em um tanque rígido fechado. O tanque está equipado com um agitador que transfere energia para o gás a uma taxa constante de 0,15 kW. A transferência de calor do gás para sua vizinhança ocorre a uma taxa k * t, em kW , em que k é uma constante, em kW / s, e t o tempo, em segundos. Depois de 23 minutos sendo agitado, o gás se encontra a u2=360 kJ / kg. Não ocorrem variações nas energias cinética e potencial.
Para o gás, determine o trabalho e a transferência de calor, ambos em kJ.

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos 1 kg de gás com uma energia interna inicial de dentro de um tanque rígido e fechado. Um agitador está transferindo energia para o gás a uma taxa constante de . Além disso, o gás está perdendo calor para o ambiente a uma taxa de kW, onde é uma constante e é o tempo em segundos. Após 23 minutos (que são 1380 segundos), a energia interna do gás sobe para . Nosso objetivo é determinar o trabalho ( ) e a transferência de calor ( ) em kJ.
Para resolver esse problema, vamos utilizar o Princípio da Conservação da Energia aplicado a sistemas termodinâmicos fechados, que é frequentemente estudado em Termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a variação da energia interna ( De) do gás. A energia interna final é e a inicial é . Então:
Como temos 1 kg de gás, a variação total da energia interna é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Princípio da Conservação da Energia, que nos diz que a variação da energia interna ( De) é igual à energia fornecida ao sistema menos o trabalho realizado pelo sistema. Em termos de fórmula:
Q = De
Onde:
  • é a quantidade de calor transferido para o sistema.
  • é o trabalho realizado pelo sistema.
Rearranjando a fórmula para encontrar :

Passo 4

Vamos identificar as formas de energia envolvidas:
  1. Energia fornecida pelo agitador: O agitador transfere energia a uma taxa de Eagitador = Potência times Tempo = 0,15 kW times 1380 s = 207 kJ durante 1380 segundos. A energia total fornecida ( Q = integral0^1380 k times t , dt = 12 k t^2 g|0^1380 = 12 k (1380)^2 ) é:
ê
  1. Energia perdida por transferência de calor: A taxa de perda de calor é . Para encontrar a energia total perdida, precisamos integrar essa taxa em relação ao tempo:

Passo 5

Como não há variação nas energias cinética e potencial, e a energia interna aumentou em Eagitador - Q = De, podemos igualar a energia fornecida pelo agitador menos a energia perdida por calor à variação da energia interna:
207 kJ - 12 k (1380)^2 = 140 kJ
Substituindo os valores:

Passo 6

Resolvendo para 207 - 140 = 12 k (1380)^2 :
67 = 12 k (1904400)
67 = 952200 , k
k = 67952200 approx 7,04 times 10^-5 kW/s

Passo 7

Agora que encontramos Q = 12 k t^2 = 12 times 7,04 times 10^-5 kW/s times (1380 s)^2 , podemos calcular a transferência de calor total ( Q = 0,5 times 7,04 times 10^-5 times 1904400 approx 67 kJ ):

Passo 8

Finalmente, usando a equação da conservação de energia para encontrar o trabalho ( De):
O sinal negativo indica que o trabalho foi realizado sobre o sistema.

Resposta

O trabalho realizado sobre o gás é de e a transferência de calor foi de .

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