Um de um gás a , está contido em um tanque rígido fechado. O tanque está equipado com um agitador que transfere energia para o gás a uma taxa constante de . A transferência de calor do gás para sua vizinhança ocorre a uma taxa , em kW , em que é uma constante, em , e t o tempo, em segundos. Depois de 23 minutos sendo agitado, o gás se encontra a . Não ocorrem variações nas energias cinética e potencial.
Para o gás, determine o trabalho e a transferência de calor, ambos em kJ.
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos 1 kg de gás com uma energia interna inicial de dentro de um tanque rígido e fechado. Um agitador está transferindo energia para o gás a uma taxa constante de . Além disso, o gás está perdendo calor para o ambiente a uma taxa de kW, onde é uma constante e é o tempo em segundos. Após 23 minutos (que são 1380 segundos), a energia interna do gás sobe para . Nosso objetivo é determinar o trabalho () e a transferência de calor () em kJ.
Para resolver esse problema, vamos utilizar o Princípio da Conservação da Energia aplicado a sistemas termodinâmicos fechados, que é frequentemente estudado em Termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a variação da energia interna () do gás. A energia interna final é e a inicial é . Então:
Como temos 1 kg de gás, a variação total da energia interna é .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Princípio da Conservação da Energia, que nos diz que a variação da energia interna () é igual à energia fornecida ao sistema menos o trabalho realizado pelo sistema. Em termos de fórmula:
Onde:
é a quantidade de calor transferido para o sistema.
é o trabalho realizado pelo sistema.
Rearranjando a fórmula para encontrar :
Passo 4
Vamos identificar as formas de energia envolvidas:
Energia fornecida pelo agitador: O agitador transfere energia a uma taxa de durante 1380 segundos. A energia total fornecida () é:
Energia perdida por transferência de calor: A taxa de perda de calor é . Para encontrar a energia total perdida, precisamos integrar essa taxa em relação ao tempo:
Passo 5
Como não há variação nas energias cinética e potencial, e a energia interna aumentou em Eagitador - Q = De, podemos igualar a energia fornecida pelo agitador menos a energia perdida por calor à variação da energia interna:
207 kJ - 12 k (1380)^2 = 140 kJ
Substituindo os valores:
Passo 6
Resolvendo para 207 - 140 = 12 k (1380)^2 :
67 = 12 k (1904400)
67 = 952200 , k
k = 67952200 approx 7,04 times 10^-5 kW/s
Passo 7
Agora que encontramos Q = 12 k t^2 = 12 times 7,04 times 10^-5 kW/s times (1380 s)^2 , podemos calcular a transferência de calor total ( Q = 0,5 times 7,04 times 10^-5 times 1904400 approx 67 kJ ):
Passo 8
Finalmente, usando a equação da conservação de energia para encontrar o trabalho ( De):
O sinal negativo indica que o trabalho foi realizado sobre o sistema.
Resposta
O trabalho realizado sobre o gás é de e a transferência de calor foi de .