Um de um gás a , está contido em um tanque rígido fechado. O tanque está equipado com um agitador que transfere energia para o gás a uma taxa constante de . A transferência de calor do gás para sua vizinhança ocorre a uma taxa , em kW , em que é uma constante, em , e t o tempo, em segundos. Depois de 23 minutos sendo agitado, o gás se encontra a . Não ocorrem variações nas energias cinética e potencial.
Determine o valor da constante que aparece na relação de transferência de calor conhecida, em (dê a resposta com 3 casas decimais e notação científica).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos 1 kg de gás num tanque fechado e rígido, com energia interna inicial de . O tanque tem um agitador que está transferindo energia pro gás a uma taxa constante de . Além disso, o gás está perdendo calor pro ambiente a uma taxa que depende do tempo: em kW, onde é uma constante que queremos encontrar.
Após 23 minutos (que vamos converter para segundos), a energia interna do gás passou para . Não tem variação nas energias cinética e potencial, então podemos focar na energia interna.
Vamos precisar usar a primeira lei da termodinâmica para sistemas fechados, que relaciona a variação da energia interna com o calor e o trabalho trocados.
Passo 2
Primeiro, vamos converter os 23 minutos para segundos, já que as unidades de tempo na taxa de perda de calor estão em segundos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica para sistemas fechados:
Onde:
é a variação da energia interna,
é o calor fornecido ao sistema,
é o trabalho realizado pelo sistema.
Como o tanque é rígido e fechado, não tem volume variando, então não há trabalho de expansão (). Além disso, o agitador está fornecendo energia, que podemos considerar como um tipo de trabalho interno, então ajustaremos a equação para considerar isso.
Passo 4
A variação da energia interna () é dada por:
Onde:
,
,
.
Calculando:
Passo 5
O agitador está fornecendo energia ao gás a uma taxa constante de . Como o tempo é de 1380 segundos, vamos calcular essa energia:
Lembrando que , então:
Passo 6
A perda de calor para o ambiente é dada pela taxa . Para encontrar a energia total perdida, vamos integrar essa taxa ao longo do tempo:
Passo 7
Aplicando a primeira lei da termodinâmica:
De
Substituindo os valores que já calculamos:
140 , kJ = 207 , kJ - k times 952200
Passo 8
Vamos resolver para k times 952200 = 207 , kJ - 140 , kJ :