Um kg de um gás a u1=220 kJ / kg, está contido em um tanque rígido fechado. O tanque está equipado com um agitador que transfere energia para o gás a uma taxa constante de 0,15 kW. A transferência de calor do gás para sua vizinhança ocorre a uma taxa k * t, em kW , em que k é uma constante, em kW / s, e t o tempo, em segundos. Depois de 23 minutos sendo agitado, o gás se encontra a u2=360 kJ / kg. Não ocorrem variações nas energias cinética e potencial.
Determine o valor da constante k que aparece na relação de transferência de calor conhecida, em kW / s (dê a resposta com 3 casas decimais e notação científica).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos 1 kg de gás num tanque fechado e rígido, com energia interna inicial de . O tanque tem um agitador que está transferindo energia pro gás a uma taxa constante de . Além disso, o gás está perdendo calor pro ambiente a uma taxa que depende do tempo: em kW, onde é uma constante que queremos encontrar.
Após 23 minutos (que vamos converter para segundos), a energia interna do gás passou para . Não tem variação nas energias cinética e potencial, então podemos focar na energia interna.
Vamos precisar usar a primeira lei da termodinâmica para sistemas fechados, que relaciona a variação da energia interna com o calor e o trabalho trocados.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os 23 minutos para segundos, já que as unidades de tempo na taxa de perda de calor estão em segundos.
23 , min times 60 , smin = 1380 , s

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica para sistemas fechados:
De
Onde:
  • é a variação da energia interna,
  • é o calor fornecido ao sistema,
  • é o trabalho realizado pelo sistema.
Como o tanque é rígido e fechado, não tem volume variando, então não há trabalho de expansão ( ). Além disso, o agitador está fornecendo energia, que podemos considerar como um tipo de trabalho interno, então ajustaremos a equação para considerar isso.

Passo 4

A variação da energia interna ( De) é dada por:
De
Onde:
  • ,
  • ,
  • .
Calculando:

Passo 5

O agitador está fornecendo energia ao gás a uma taxa constante de Qin = potência times tempo = 0,15 , kW times 1380 , s . Como o tempo é de 1380 segundos, vamos calcular essa energia:
Qin = 0,15 , kJ/s times 1380 , s = 207 , kJ ê
Lembrando que , então:

Passo 6

A perda de calor para o ambiente é dada pela taxa Qout, total = integral0^1380 k times t , dt . Para encontrar a energia total perdida, vamos integrar essa taxa ao longo do tempo:
Qout, total = k times t^22 |0^1380 = k times 1380^22
Qout, total = k times 19044002 = k times 952200

Passo 7

Aplicando a primeira lei da termodinâmica:
De
Substituindo os valores que já calculamos:
140 , kJ = 207 , kJ - k times 952200

Passo 8

Vamos resolver para k times 952200 = 207 , kJ - 140 , kJ :
k times 952200 = 67 , kJ
k = 67952200 , kW/s
k approx 7,037 times 10^-5 , kW/s

Resposta

A constante é aproximadamente .

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