l Calcuils as entegrais indefpinidars cdot integral cos ^2(x) d x cdot integral ln (raizx) d x cdot integral ln x d xx cdot integral d ys^2(s-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver as integrais indefinidas que você me passou. O conteúdo envolvido aqui inclui técnicas de integração como identidades trigonométricas, substituição e frações parciais. Vamos precisar aplicar essas técnicas para cada uma das integrais listadas:
l integral cos^2(x) , dx integral ln (raizx) , dx integral ln xx , dx integral dys^2(s-1)^2
Vamos resolver cada uma passo a passo!

Passo 2

Integral 1: cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Para integrar integral cos^2(x) , dx = integral 1 + cos(2x)2 , dx = 12 integral 1 , dx + 12 integral cos(2x) , dx , vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração. A identidade é:
12 integral 1 , dx = 12x
Agora, substituímos na integral:
12 integral cos(2x) , dx = 12 cdot sin(2x)2 = sin(2x)4
Integrando termo a termo:
integral cos^2(x) , dx = x2 + sin(2x)4 + C
Então, a integral fica:

Passo 3

Integral 2: ln(raizx) = ln(x^1/2) = 12 ln(x)
Primeiro, vamos simplificar integral ln (raizx) , dx = 12 integral ln(x) , dx . Sabemos que u = ln(x) Rightarrow du = 1x dx , então:
dv = dx Rightarrow v = x
Agora, a integral fica:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x + C
Para integrar integral ln (raizx) , dx = 12 (x ln(x) - x) + C = x ln(x)2 - x2 + C , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Portanto:

Passo 4

Integral 3: u = ln(x) Rightarrow du = 1x dx
Aqui, usamos uma substituição simples. Vamos deixar:
integral ln xx , dx = integral u , du = u^22 + C = (ln x)^22 + C
Então, a integral se transforma em:

Passo 5

Integral 4: integral dys^2(s-1)^2 = 1s^2(s-1)^2 integral dy = ys^2(s-1)^2 + C
Primeiro, observe que estamos integrando em relação a , mas a expressão está em função de . Vou assumir que é uma função de e precisamos integrar em termos de . Porém, se é constante em relação a , a integral será simplesmente:
Se, por outro lado, é uma variável que depende de e precisamos integrar em termos de , precisaríamos de mais informações sobre a relação entre e . Com os dados fornecidos, consideramos como constante.

Resposta

As integrais indefinidas são:
  1. integral cos^2(x) , dx = x2 + sin(2x)4 + C
  2. integral ln (raizx) , dx = x ln(x)2 - x2 + C
  3. integral ln xx , dx = (ln x)^22 + C
  4. integral dys^2(s-1)^2 = ys^2(s-1)^2 + C

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