Seja X N(100; 85). Retiramos uma amostra de tamanho n=20. Determinar:
a) P(95 <= barX <= 105);
b) P(barX-Z alpha / 2 sigmabarx <= mu <= barX+Z alpha / 2 sigmabarx)=0,95.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância . Tiramos uma amostra de tamanho . Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular a probabilidade de que a média da amostra esteja entre 95 e 105.
b) Encontrar um intervalo de confiança para a média com nível de confiança de 95%.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de distribuição amostral da média, erro padrão e distribuição normal padrão (Z).

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) e calcular sigmabarX = sigmaraizn .
Sabemos que, se é normal, a média da amostra também segue uma distribuição normal com a mesma média e o desvio padrão da média ( ) é dado por:
Onde é o desvio padrão da população e é o tamanho da amostra.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o desvio padrão da amostra:
sigma = raiz85 approx 9,22
Agora, calculamos o erro padrão:
sigmabarX = 9,22raiz20 approx 9,224,472 approx 2,06

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z = barX - musigmabarX estar entre 95 e 105. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore Z:
Z1 = 95 - 1002,06 approx -52,06 approx -2,43
Calculamos os escores Z para 95 e 105:
Para Z2 = 105 - 1002,06 approx 52,06 approx 2,43 :
Para :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de P(-2,43 <= Z <= 2,43) approx 0,9846 estar entre -2,43 e 2,43 na distribuição normal padrão. Usando a tabela Z ou uma calculadora de distribuição normal, encontramos:
Ou seja, aproximadamente 98,46% de chance de que a média da amostra esteja entre 95 e 105.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b) da questão, que pede para encontrar o intervalo de confiança para barX pm Zalpha/2 cdot sigmabarX com nível de confiança de 95%. A fórmula do intervalo de confiança é:
Onde é o valor crítico da distribuição normal para um nível de confiança de 95%, que é aproximadamente 1,96.

Passo 7

Usando o valor crítico barX pm 1,96 cdot 2,06 approx barX pm 4,04 e o erro padrão , o intervalo de confiança fica:
Isso significa que temos 95% de confiança de que a média verdadeira está dentro desse intervalo.

Resposta

a) A probabilidade de que a média da amostra esteja entre 95 e 105 é aproximadamente 98,46%.
b) O intervalo de confiança para a média com nível de confiança de 95% é .

Exercícios relacionados