Seja X N(100; 85). Retiramos uma amostra de tamanho
. Determinar:
a)
;
b)
.
a)
b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma variável aleatória
que segue uma distribuição normal com média
e variância
. Tiramos uma amostra de tamanho
. Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular a probabilidade de que a média da amostra
esteja entre 95 e 105.
b) Encontrar um intervalo de confiança para a média
com nível de confiança de 95%.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de distribuição amostral da média, erro padrão e distribuição normal padrão (Z).
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) e calcular
.
Sabemos que, se
é normal, a média da amostra
também segue uma distribuição normal com a mesma média
e o desvio padrão da média (
) é dado por:
Onde
é o desvio padrão da população e
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o desvio padrão da amostra:
Agora, calculamos o erro padrão:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
estar entre 95 e 105. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore Z:
Calculamos os escores Z para 95 e 105:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de
estar entre -2,43 e 2,43 na distribuição normal padrão. Usando a tabela Z ou uma calculadora de distribuição normal, encontramos:
Ou seja, aproximadamente 98,46% de chance de que a média da amostra esteja entre 95 e 105.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b) da questão, que pede para encontrar o intervalo de confiança para
com nível de confiança de 95%. A fórmula do intervalo de confiança é:
Onde
é o valor crítico da distribuição normal para um nível de confiança de 95%, que é aproximadamente 1,96.
Passo 7
Usando o valor crítico
e o erro padrão
, o intervalo de confiança fica:
Isso significa que temos 95% de confiança de que a média verdadeira
está dentro desse intervalo.
Resposta
a) A probabilidade de que a média da amostra esteja entre 95 e 105 é aproximadamente 98,46%.
b) O intervalo de confiança para a média
com nível de confiança de 95% é
.