Seja
. Dessa população retiramos uma amostra de tamanho
. Calcular:
a)
;
b)
;
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos lá! Temos uma variável aleatória
que segue uma distribuição normal com média
e variância
. Vamos tirar uma amostra de tamanho
dessa população. O que precisamos fazer aqui é calcular probabilidades relacionadas à média amostral
. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e a normalização com o teorema do limite central.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a distribuição da média amostral
. Como
é normal, a média amostral
também será normal, com média igual a
e variância igual a
. Portanto, o desvio padrão da média amostral, ou erro padrão, é
.
Passo 3
a) Calcular
Vamos padronizar a variável
para usar a tabela da distribuição normal padrão. A padronização é feita pela fórmula:
Substituindo os valores:
Agora, queremos a probabilidade de
. Consultando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de
ser menor que 2.94 é aproximadamente 0.9984. Portanto, a probabilidade de
é:
Passo 4
b) Calcular
Novamente, vamos padronizar:
Queremos a probabilidade de
. Consultando a tabela,
.
Passo 5
c) Calcular
A expressão dentro da probabilidade define um intervalo ao redor da média amostral
. Vamos reescrever a desigualdade:
Queremos achar a probabilidade de que o verdadeiro valor da média
esteja dentro de dois erros padrão da média amostral.
Isso é equivalente a:
Que podemos reescrever como:
A probabilidade de
estar entre -2 e 2 na distribuição normal padrão é aproximadamente 0.9545.
Resposta
a)
b)
c)