Seja X sim N(90 ; 26). Dessa população retiramos uma amostra de tamanho n=25. Calcular:
a) P(barX>93);
b) P(barX <= 92);
c) P(barX-2 sigmabarx <= mu <= barX+2 sigmabarx).

Passo 1

Vamos lá! Temos uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal com média mu = 90 e variância sigma^2 = 26. Vamos tirar uma amostra de tamanho n = 25 dessa população. O que precisamos fazer aqui é calcular probabilidades relacionadas à média amostral barX. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e a normalização com o teorema do limite central.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a distribuição da média amostral barX. Como X é normal, a média amostral barX também será normal, com média igual a mu = 90 e variância igual a sigma^2 / n = 26 / 25 = 1.04. Portanto, o desvio padrão da média amostral, ou erro padrão, é sigmabarX = raiz1.04 approx 1.02.

Passo 3

a) Calcular P(barX > 93)
Vamos padronizar a variável barX para usar a tabela da distribuição normal padrão. A padronização é feita pela fórmula:
Z = barX - musigmabarX
Substituindo os valores:
Z = 93 - 901.02 approx 31.02 approx 2.94
Agora, queremos a probabilidade de Z > 2.94. Consultando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de Z ser menor que 2.94 é aproximadamente 0.9984. Portanto, a probabilidade de Z > 2.94 é:
P(Z > 2.94) = 1 - 0.9984 = 0.0016

Passo 4

b) Calcular P(barX <= 92)
Novamente, vamos padronizar:
Z = 92 - 901.02 approx 21.02 approx 1.96
Queremos a probabilidade de Z <= 1.96. Consultando a tabela, P(Z <= 1.96) approx 0.9750.

Passo 5

c) Calcular P(barX - 2sigmabarX <= mu <= barX + 2sigmabarX)
A expressão dentro da probabilidade define um intervalo ao redor da média amostral barX. Vamos reescrever a desigualdade:
barX - 2sigmabarX <= mu <= barX + 2sigmabarX
Queremos achar a probabilidade de que o verdadeiro valor da média mu esteja dentro de dois erros padrão da média amostral.
Isso é equivalente a:
-2 <= mu - barXsigmabarX <= 2
Que podemos reescrever como:
-2 <= Z <= 2
A probabilidade de Z estar entre -2 e 2 na distribuição normal padrão é aproximadamente 0.9545.

Resposta

a) P(barX > 93) approx 0.0016
b) P(barX <= 92) approx 0.9750
c) P(barX - 2sigmabarX <= mu <= barX + 2sigmabarX) approx 0.9545

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