Um laboratório fez oito determinações da quantidade de impurezas em porções de certo composto. Os valores eram: 12, 4 ; 12,6 ; 12 ; 12 ; 12,1 ; 12,3; 12,5 e 12,7 mg.
(a) Estime a variância de impurezas entre porções;
(b) Suponha que a população seja normal. Teste a hipótese de que a variância é 1, ao nível de alpha=0,05 e alpha=0,10, contra H1: sigma^2<1.
R. a) s^2=0,0736, barx=12,325 b) Rejeita-se H0, em ambos casos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede duas coisas sobre as impurezas em um composto: primeiro, estimar a variância das impurezas entre porções diferentes, e segundo, testar uma hipótese sobre essa variância. Vamos precisar usar conceitos de estatística descritiva, especificamente o cálculo da variância, e também de estatística inferencial para o teste de hipótese usando a distribuição qui-quadrado. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Estimar a variância das impurezas entre porções
Primeiro, vamos calcular a variância amostral das impurezas. A variância nos mostra o quanto os valores estão espalhados em torno da média. A fórmula da variância amostral é:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • $ x_i $ são os valores das observações,
  • $ \bar{x} $ é a média das observações,
  • $ n $ é o número de observações.
Vamos calcular passo a passo:
  1. Listar as observações:
    xi
  2. Calcular a média ($ \bar{x} $):
    barx
  3. Calcular cada $ (x_i - \bar{x})^{2} $:
    n
  4. Somar todos os $ (x_i - \bar{x})^{2} $:
    12,4 ; 12,6 ; 12 ; 12 ; 12,1 ; 12,3 ; 12,5 ; 12,7 mg
  5. Calcular a variância ($ s^{2} $):
    barx

Passo 3

Parte (b): Testar a hipótese de que a variância é 1, com alpha = 0,05 e alpha = 0,10, contra $ H_{1}: \sigma^{2} < 1 $
Aqui, vamos realizar um teste de hipóteses para a variância usando a distribuição qui-quadrado ( H1: sigma^2 < 1 ). Os passos são:
  1. Definir as hipóteses:
    • Hipótese nula ($ H_{0} $): $ \sigma^{2} = 1 $
    • Hipótese alternativa ($ H_{1} $): $ \sigma^{2} < 1 $
  2. Calcular o valor do teste ($ \chi^{2}_{calculado} $):
    chi^2
    Onde:
    • $ n = 8 $
    • $ s^{2} = 0,0736 $
    • $ \sigma_{0}^{2} = 1 $
    H0
  3. Determinar os valores críticos para sigma^2 = 1 e H1 :
    Como a hipótese alternativa é $ \sigma^{2} < 1 $, será um teste unilateral à esquerda. Vamos procurar o valor crítico na tabela qui-quadrado correspondente a $ \alpha = 0,05 $ e $ \alpha = 0,10 $ com $ df = n - 1 = 7 $.
    • Para $ \alpha = 0,05 $, o valor crítico de $ \chi^{2} $ é aproximadamente 1,690.
    • Para $ \alpha = 0,10 $, o valor crítico de $ \chi^{2} $ é aproximadamente 1,415.
  4. Comparar o valor calculado com os valores críticos:
    • $ \chi^{2}_{calculado} = 0,5152 $
    • Como $ 0,5152 < 1,415 $ (para $ \alpha = 0,10 $) e $ 0,5152 < 1,690 $ (para $ \alpha = 0,05 $), rejeitamos a hipótese nula em ambos os níveis de significância.

Resposta

a) A variância estimada das impurezas é $ s^{2} = 0,0736 \ mg^{2} $ e a média amostral é $ \bar{x} = 12,325 \ mg $.
b) Rejeita-se a hipótese nula $ H_{0} $ em ambos os níveis de significância ($ \alpha = 0,05 $ e $ \alpha = 0,10 $).

Exercícios relacionados