Um laboratório fez oito determinações da quantidade de impurezas em porções de certo composto. Os valores eram: 12,
; 12,5 e
.
(a) Estime a variância de impurezas entre porções;
(b) Suponha que a população seja normal. Teste a hipótese de que a variância é 1, ao nível de
e
, contra
.
R. a)
Rejeita-se
, em ambos casos.
(a) Estime a variância de impurezas entre porções;
(b) Suponha que a população seja normal. Teste a hipótese de que a variância é 1, ao nível de
R. a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede duas coisas sobre as impurezas em um composto: primeiro, estimar a variância das impurezas entre porções diferentes, e segundo, testar uma hipótese sobre essa variância. Vamos precisar usar conceitos de estatística descritiva, especificamente o cálculo da variância, e também de estatística inferencial para o teste de hipótese usando a distribuição qui-quadrado. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Estimar a variância das impurezas entre porções
Primeiro, vamos calcular a variância amostral das impurezas. A variância nos mostra o quanto os valores estão espalhados em torno da média. A fórmula da variância amostral é:
Onde:
- $ x_i $ são os valores das observações,
- $ \bar{x} $ é a média das observações,
- $ n $ é o número de observações.
Vamos calcular passo a passo:
-
Listar as observações:
-
Calcular a média ($ \bar{x} $):
-
Calcular cada $ (x_i - \bar{x})^{2} $:
-
Somar todos os $ (x_i - \bar{x})^{2} $:
-
Calcular a variância ($ s^{2} $):
Passo 3
Parte (b): Testar a hipótese de que a variância é 1, com
e
, contra $ H_{1}: \sigma^{2} < 1 $
Aqui, vamos realizar um teste de hipóteses para a variância usando a distribuição qui-quadrado (
). Os passos são:
-
Definir as hipóteses:
- Hipótese nula ($ H_{0} $): $ \sigma^{2} = 1 $
- Hipótese alternativa ($ H_{1} $): $ \sigma^{2} < 1 $
-
Calcular o valor do teste ($ \chi^{2}_{calculado} $):Onde:
- $ n = 8 $
- $ s^{2} = 0,0736 $
- $ \sigma_{0}^{2} = 1 $
-
Determinar os valores críticos para
e : Como a hipótese alternativa é $ \sigma^{2} < 1 $, será um teste unilateral à esquerda. Vamos procurar o valor crítico na tabela qui-quadrado correspondente a $ \alpha = 0,05 $ e $ \alpha = 0,10 $ com $ df = n - 1 = 7 $.- Para $ \alpha = 0,05 $, o valor crítico de $ \chi^{2} $ é aproximadamente 1,690.
- Para $ \alpha = 0,10 $, o valor crítico de $ \chi^{2} $ é aproximadamente 1,415.
-
Comparar o valor calculado com os valores críticos:
- $ \chi^{2}_{calculado} = 0,5152 $
- Como $ 0,5152 < 1,415 $ (para $ \alpha = 0,10 $) e $ 0,5152 < 1,690 $ (para $ \alpha = 0,05 $), rejeitamos a hipótese nula em ambos os níveis de significância.
Resposta
a) A variância estimada das impurezas é $ s^{2} = 0,0736 \ mg^{2} $ e a média amostral é $ \bar{x} = 12,325 \ mg $.
b) Rejeita-se a hipótese nula $ H_{0} $ em ambos os níveis de significância ($ \alpha = 0,05 $ e $ \alpha = 0,10 $).