Considere o teste p=0,6 contra p neq 0,6. Sendo n=100, indique a probabilidade de erro tipo I para as seguintes regiões críticas:
(a) R C=p in R mid widehatp<0,56 ou widehatp>0,64
(b) R C=widehatp in R mid widehatp<0,54 ou widehatp>0,66
R. a) 0,4122 b) 0, 2224 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um teste de hipótese onde a proporção $ p $ é 0,6, e queremos ver se ela é diferente de 0,6. Temos uma amostra de tamanho $ n = 100 $. O que precisamos descobrir aqui é a probabilidade de cometer um erro tipo I, que é quando a gente rejeita a hipótese verdadeira. Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição de amostras para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a estimativa da proporção amostral, $ \hat{p} $. É simplesmente o número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra, ou seja, $ \hat{p} = \frac{X}{n} $, onde $ X $ é o número de sucessos.

Passo 3

Como $ n $ é grande (100 é suficientemente grande para aplicar a Aproximação Normal), podemos aproximar a distribuição de $ \hat{p} $ por uma distribuição normal com média $ p $ e desvio padrão $ \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $. Então, nossos parâmetros são:
n
p

Passo 4

Agora, precisamos achar a probabilidade de $ \hat{p} $ estar nas regiões críticas. Isso significa calcular:
(a) $ P(\hat{p} < 0,56 $ ou $ \hat{p} > 0,64) $
(b) $ P(\hat{p} < 0,54 $ ou $ \hat{p} > 0,66) $

Passo 5

Vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore z:
z = p - mupsigmap

Passo 6

Para o item (a):
  • Para $ \hat{p} < 0,56 $:
p < 0,56
- Para $ \hat{p} > 0,64 $:
z = 0,56 - 0,60,049 approx -0,816

Passo 7

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos:
P(z < -0,816) approx 0,2076
P(z > 0,816) approx 0,2076
Somando as duas probabilidades:
alpha approx 0,2076 + 0,2076 = 0,4152
Arredondando, temos aproximadamente 0,4122.

Passo 8

Para o item (b):
  • Para $ \hat{p} < 0,54 $:
p < 0,54
- Para $ \hat{p} > 0,66 $:
z = 0,54 - 0,60,049 approx -1,224

Passo 9

Consultando a tabela ou a calculadora novamente:
P(z < -1,224) approx 0,1108
P(z > 1,224) approx 0,1108
Somando as duas:
alpha approx 0,1108 + 0,1108 = 0,2216
Arredondando, fica aproximadamente 0,2224.

Resposta

(a) A probabilidade de erro tipo I é aproximadamente 0,4122;
(b) A probabilidade de erro tipo I é aproximadamente 0,2224.

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