Considere o teste
contra
. Sendo
, indique a probabilidade de erro tipo I para as seguintes regiões críticas:
(a)
ou
(b)
ou
R. a) 0,4122 b) 0, 2224 .
(a)
(b)
R. a) 0,4122 b) 0, 2224 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um teste de hipótese onde a proporção $ p $ é 0,6, e queremos ver se ela é diferente de 0,6. Temos uma amostra de tamanho $ n = 100 $. O que precisamos descobrir aqui é a probabilidade de cometer um erro tipo I, que é quando a gente rejeita a hipótese verdadeira. Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição de amostras para proporções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a estimativa da proporção amostral, $ \hat{p} $. É simplesmente o número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra, ou seja, $ \hat{p} = \frac{X}{n} $, onde $ X $ é o número de sucessos.
Passo 3
Como $ n $ é grande (100 é suficientemente grande para aplicar a Aproximação Normal), podemos aproximar a distribuição de $ \hat{p} $ por uma distribuição normal com média $ p $ e desvio padrão $ \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $. Então, nossos parâmetros são:
Passo 4
Agora, precisamos achar a probabilidade de $ \hat{p} $ estar nas regiões críticas. Isso significa calcular:
(a) $ P(\hat{p} < 0,56 $ ou $ \hat{p} > 0,64) $
(b) $ P(\hat{p} < 0,54 $ ou $ \hat{p} > 0,66) $
(a) $ P(\hat{p} < 0,56 $ ou $ \hat{p} > 0,64) $
(b) $ P(\hat{p} < 0,54 $ ou $ \hat{p} > 0,66) $
Passo 5
Vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore z:
Passo 6
Para o item (a):
- Para $ \hat{p} < 0,56 $:
- Para $ \hat{p} > 0,64 $:
Passo 7
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos:
Somando as duas probabilidades:
Arredondando, temos aproximadamente 0,4122.
Passo 8
Para o item (b):
- Para $ \hat{p} < 0,54 $:
- Para $ \hat{p} > 0,66 $:
Passo 9
Consultando a tabela ou a calculadora novamente:
Somando as duas:
Arredondando, fica aproximadamente 0,2224.
Resposta
(a) A probabilidade de erro tipo I é aproximadamente 0,4122;
(b) A probabilidade de erro tipo I é aproximadamente 0,2224.
(b) A probabilidade de erro tipo I é aproximadamente 0,2224.