Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças segue um modelo Normal com variância igual a
. Para testar se a máquina está bem regulada, 100 peças são observadas e sua média calculada em
.
(a) Formule o problema como um teste de hipóteses.
(b) Qual seria a região crítica e a decisão? Use
.
© Se a região de aceitação fosse
, qual seria a probabilidade do erro tipo II se
?
(a) Formule o problema como um teste de hipóteses.
(b) Qual seria a região crítica e a decisão? Use
© Se a região de aceitação fosse
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma máquina que deve produzir peças com diâmetro de 2 cm, mas, como acontece na vida real, tem variação. Sabemos que o diâmetro das peças segue uma distribuição Normal com variância de
. A ideia é testar se a máquina está funcionando certinho observando 100 peças cuja média deu
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teste de hipóteses na estatística.
Passo 2
a) Formular o problema como um teste de hipóteses
Primeiro, precisamos determinar quais são as hipóteses que vamos testar. Em um teste de hipóteses, temos:
- Hipótese Nula (
): A situação que queremos testar se é verdadeira. Aqui, é que a máquina está produzindo peças com diâmetro exatamente de 2 cm. - Hipótese Alternativa (
): O que consideramos caso a hipótese nula não seja verdadeira. Neste caso, que o diâmetro não é 2 cm.
Então, formalmente:
Passo 3
b) Determinar a região crítica e a decisão com
A região crítica é o conjunto de valores que, se a média observada cair nela, fazemos a rejeição da hipótese nula
. Para determinar isso, usamos o nível de significância
, que é a probabilidade de cometer um erro do tipo I (rejeitar
quando ela é verdadeira).
Como estamos lidando com um teste bilateral (porque
é
), dividimos
igualmente nas duas caudas da distribuição Normal. Primeiro, calculamos o erro padrão (
):
Agora, encontramos os valores críticos usando a tabela da distribuição Normal padrão. Para
, temos
em cada cauda. O valor crítico
correspondente a
na tabela é aproximadamente
.
Então, os limites críticos são:
A região crítica é então:
Se a média observada (
) cair fora desse intervalo, rejeitamos
.
Passo 4
c) Calcular a probabilidade do erro tipo II (
) se a média real for
O erro tipo II ocorre quando não rejeitamos
mesmo ela sendo falsa. Queremos saber a probabilidade de não rejeitar
quando na verdade
.
Primeiro, determinamos a região de aceitação, que é:
Agora, calculamos a probabilidade de
cair dentro desse intervalo quando
. Usamos novamente o erro padrão
.
Calculamos os valores
:
Consultando a tabela da distribuição Normal, a probabilidade entre
e
é praticamente 0,5 (pois a metade da distribuição está acima de 0).
Portanto, a probabilidade do erro tipo II é aproximadamente
.
Resposta
a)
contra
b) Região Crítica:
. Decisão: Rejeitar
.
c) Probabilidade do erro tipo II: