Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças segue um modelo Normal com variância igual a 0,09 cm^2. Para testar se a máquina está bem regulada, 100 peças são observadas e sua média calculada em 2,1 cm.
(a) Formule o problema como um teste de hipóteses.
(b) Qual seria a região crítica e a decisão? Use alpha=0,02.
© Se a região de aceitação fosse x in R | 1,9 <= x <= 2,1, qual seria a probabilidade do erro tipo II se mu=1,9 cm?
r R a) H0: mu=2 contra H1: mu neq 2 b) R C=x in R: x<1,9301 ou x>2,0699, Rejeite H0, c) beta simeq 0,5

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma máquina que deve produzir peças com diâmetro de 2 cm, mas, como acontece na vida real, tem variação. Sabemos que o diâmetro das peças segue uma distribuição Normal com variância de 0,09 , cm^2. A ideia é testar se a máquina está funcionando certinho observando 100 peças cuja média deu 2,1 , cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teste de hipóteses na estatística.

Passo 2

a) Formular o problema como um teste de hipóteses
Primeiro, precisamos determinar quais são as hipóteses que vamos testar. Em um teste de hipóteses, temos:
  • Hipótese Nula ( H0): A situação que queremos testar se é verdadeira. Aqui, é que a máquina está produzindo peças com diâmetro exatamente de 2 cm.
  • Hipótese Alternativa ( H1): O que consideramos caso a hipótese nula não seja verdadeira. Neste caso, que o diâmetro não é 2 cm.
Então, formalmente:
H0: mu = 2 , cm contra H1: mu neq 2 , cm

Passo 3

b) Determinar a região crítica e a decisão com alpha = 0,02
A região crítica é o conjunto de valores que, se a média observada cair nela, fazemos a rejeição da hipótese nula H0. Para determinar isso, usamos o nível de significância alpha = 0,02, que é a probabilidade de cometer um erro do tipo I (rejeitar H0 quando ela é verdadeira).
Como estamos lidando com um teste bilateral (porque H1 é mu neq 2), dividimos alpha igualmente nas duas caudas da distribuição Normal. Primeiro, calculamos o erro padrão ( SE):
SE = sigmaraizn = raiz0,09raiz100 = 0,310 = 0,03 , cm
Agora, encontramos os valores críticos usando a tabela da distribuição Normal padrão. Para alpha = 0,02, temos 0,01 em cada cauda. O valor crítico z correspondente a 0,01 na tabela é aproximadamente 2,33.
Então, os limites críticos são:
mu0 pm z times SE = 2 pm 2,33 times 0,03
2 pm 0,0699 Rightarrow [1,9301 , cm, , 2,0699 , cm]
A região crítica é então:
RC = x in R mid x < 1,9301 , cm , ou , x > 2,0699 , cm
Se a média observada ( 2,1 , cm) cair fora desse intervalo, rejeitamos H0.

Passo 4

c) Calcular a probabilidade do erro tipo II ( beta) se a média real for mu = 1,9 , cm
O erro tipo II ocorre quando não rejeitamos H0 mesmo ela sendo falsa. Queremos saber a probabilidade de não rejeitar H0 quando na verdade mu = 1,9 , cm.
Primeiro, determinamos a região de aceitação, que é:
x in R mid 1,9 <= x <= 2,1
Agora, calculamos a probabilidade de x cair dentro desse intervalo quando mu = 1,9 , cm. Usamos novamente o erro padrão SE = 0,03 , cm.
Calculamos os valores z:
z1 = 1,9 - 1,90,03 = 0
z2 = 2,1 - 1,90,03 approx 6,67
Consultando a tabela da distribuição Normal, a probabilidade entre z = 0 e z = 6,67 é praticamente 0,5 (pois a metade da distribuição está acima de 0).
Portanto, a probabilidade do erro tipo II é aproximadamente 0,5.

Resposta

a) H0: mu = 2 , cm contra H1: mu neq 2 , cm
b) Região Crítica: x in R mid x < 1,9301 , cm , ou , x > 2,0699 , cm. Decisão: Rejeitar H0.
c) Probabilidade do erro tipo II: beta approx 0,5

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