Um lago grande e profundo, de águas calmas, tem uma concentração uniforme de oxigênio de
. Sua superfície passa subitamente a manter uma concentração de
. Trace aproximadamente o perfil de concentração em função da profundidade, após 3.600 s e após 360.000 s . A temperatura do lago é 283 K . Quanto
penetrou por
de superfície do lago? Dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lago grande e profundo com água calma onde a concentração de oxigênio inicialmente é de
. De repente, a superfície do lago passa a manter uma concentração maior de oxigênio, de
. A gente precisa traçar como essa concentração de oxigênio varia com a profundidade após 3.600 segundos e depois de 360.000 segundos. Além disso, queremos saber quanto de
penetrou por quilômetro quadrado de superfície do lago. Para isso, vamos usar o coeficiente de difusão
. Vamos precisar entender sobre difusão e como ela ocorre em meios como a água.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o coeficiente de difusão para unidades mais convenientes. Sabemos que:
Como estamos trabalhando com metros, vamos converter cm² para m²:
Então:
Passo 3
Vamos modelar a difusão do oxigênio no lago usando a equação de difusão em uma dimensão (profundidade). A solução para a concentração
em função da profundidade
e do tempo
é dada por:
Onde:
-
-
-
é a função complementar do erro -
é a profundidade -
é o tempo -
é o coeficiente de difusão
Passo 4
Vamos calcular a profundidade característica
, que nos dá uma ideia de até onde o oxigênio difundiu após um certo tempo:
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Passo 5
Agora, vamos traçar o perfil de concentração. A função
varia de 1 para
e tende a 0 conforme
aumenta. Isso significa que na superfície (
), a concentração é
e à medida que a profundidade aumenta, ela se aproxima de
. Com os valores de
calculados, podemos ver que após 3.600 s, a difusão afeta até cerca de 5,64 mm de profundidade, e após 360.000 s, até aproximadamente 5,64 cm.
Passo 6
Para calcular quanto
penetrou por
de superfície do lago, usamos a quantidade de oxigênio transferida através da área da superfície ao longo do tempo. A quantidade de oxigênio que penetrou é dada por:
Onde
.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Resposta
Após 3.600 segundos, aproximadamente
de
penetraram por
de superfície do lago. Após 360.000 segundos, essa quantidade aumenta para cerca de
de
por
de área da superfície.
Exercícios relacionados
Óleo,
e
, escoa a
por um tubo de ferro fundido asfaltado de 150 mm de diâmetro. O tubo tem 805 m de comprimento e está inclinado para cima a
no sentido do escoamento. Calcule a perda de carga em metros e a variação de pressão.
Identifique e caracterize dois fatores ambientais positivos e dois negativos da utilização da energia eólica.
A temperatura da água na seção de alimentação de um bocal é igual a
e a pressão no fluido diminui ao longo do escoamento no bocal. Estime o valor da pressão absoluta onde se detecta o início da cavitação neste escoamento.
A secagem de grandes placas de madeira com uma pequena espessura (2a) de
é controlada pela difusão de vapor de água na madeira. O coeficiente de difusão do vapor de água na madeira foi medido experimentalmente e é igual a
. Neste processo de secagem as duas maiores faces das placas são expostas a uma corrente de ar que tem um humidade equivalente a
água
madeira seca na madeira. Utilizando a solução analítica calcule o tempo necessário para que a humidade no centro das placas baixe de
água
madeira seca para
água/kg madeira seca. Admita à priori que o tempo de secagem é muito grande.