Um lago grande e profundo, de águas calmas, tem uma concentração uniforme de oxigênio de . Sua superfície passa subitamente a manter uma concentração de . Trace aproximadamente o perfil de concentração em função da profundidade, após 3.600 s e após 360.000 s . A temperatura do lago é 283 K . Quanto penetrou por de superfície do lago? Dado: .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lago grande e profundo com água calma onde a concentração de oxigênio inicialmente é de . De repente, a superfície do lago passa a manter uma concentração maior de oxigênio, de . A gente precisa traçar como essa concentração de oxigênio varia com a profundidade após 3.600 segundos e depois de 360.000 segundos. Além disso, queremos saber quanto de penetrou por quilômetro quadrado de superfície do lago. Para isso, vamos usar o coeficiente de difusão . Vamos precisar entender sobre difusão e como ela ocorre em meios como a água.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o coeficiente de difusão para unidades mais convenientes. Sabemos que:
Como estamos trabalhando com metros, vamos converter cm² para m²:
Então:

Passo 3

Vamos modelar a difusão do oxigênio no lago usando a equação de difusão em uma dimensão (profundidade). A solução para a concentração em função da profundidade e do tempo é dada por:
í
Onde:
  • í
  • é a função complementar do erro
  • é a profundidade
  • é o tempo
  • é o coeficiente de difusão

Passo 4

Vamos calcular a profundidade característica , que nos dá uma ideia de até onde o oxigênio difundiu após um certo tempo:
Primeiro, para :
Agora, para :

Passo 5

Agora, vamos traçar o perfil de concentração. A função varia de 1 para e tende a 0 conforme aumenta. Isso significa que na superfície ( ), a concentração é e à medida que a profundidade aumenta, ela se aproxima de . Com os valores de calculados, podemos ver que após 3.600 s, a difusão afeta até cerca de 5,64 mm de profundidade, e após 360.000 s, até aproximadamente 5,64 cm.

Passo 6

Para calcular quanto penetrou por de superfície do lago, usamos a quantidade de oxigênio transferida através da área da superfície ao longo do tempo. A quantidade de oxigênio que penetrou é dada por:
í
Onde .
Primeiro, para :
Agora, para :

Resposta

Após 3.600 segundos, aproximadamente de penetraram por de superfície do lago. Após 360.000 segundos, essa quantidade aumenta para cerca de de por de área da superfície.

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