A secagem de grandes placas de madeira com uma pequena espessura (2a) de
é controlada pela difusão de vapor de água na madeira. O coeficiente de difusão do vapor de água na madeira foi medido experimentalmente e é igual a
. Neste processo de secagem as duas maiores faces das placas são expostas a uma corrente de ar que tem um humidade equivalente a
água
madeira seca na madeira. Utilizando a solução analítica calcule o tempo necessário para que a humidade no centro das placas baixe de
água
madeira seca para
água/kg madeira seca. Admita à priori que o tempo de secagem é muito grande.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o enunciado está pedindo. Temos uma placa de madeira com espessura total de
(o que significa que cada metade tem
). A secagem dessa placa ocorre por difusão do vapor de água na madeira, e o coeficiente de difusão dado é
. As duas faces maiores da placa estão expostas a um ar com uma umidade de
. Queremos descobrir quanto tempo leva para a umidade no centro da placa diminuir de
para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão, especificamente a Lei de Fick, e aplicar uma solução analítica apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a secagem está sendo controlada pela difusão, o que significa que o transporte de água ocorre devido à diferença de concentração (ou umidade) entre o interior da madeira e o ar externo. A Lei de Fick para difusão unidimensional em uma placa sólida é o nosso ponto de partida. A equação geral que descreve esse processo é a Equação de Difusão de Fick:
onde:
-
é a concentração de água na madeira, -
é o tempo, -
é o coeficiente de difusão, -
é a posição dentro da placa.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos de uma solução que se aplique às condições do nosso problema. Como estamos lidando com uma placa de espessura finita e o tempo de secagem é grande, podemos assumir que o perfil de umidade na placa atingiu um estado estacionário. No entanto, como queremos a umidade no centro variando de um valor para outro, precisamos considerar a solução temporal para a concentração no centro da placa.
A solução para o perfil de umidade no centro de uma placa finita exposta a condições de contorno constantes pode ser expressa pela série de Fourier. Mas para simplificar, podemos usar apenas o primeiro termo da série, que geralmente domina o comportamento para grandes tempos.
A fórmula aproximada para a concentração no centro (
) em função do tempo é:
onde:
-
é a umidade inicial no centro, -
é a umidade no centro após muito tempo, -
é a metade da espessura da placa.
Passo 4
Vamos identificar os valores que temos:
- Espessura total da placa:
, então , - Coeficiente de difusão:
, - Umidade inicial no centro:
, - Umidade final no centro:
.
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para resolver o tempo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos na equação:
-
, -
, -
, -
, -
.
Notamos que há um pequeno equívoco aqui: se estamos procurando o tempo para que o centro atinja
, então precisamos usar
. No entanto, na equação, isso levaria a
, que não é definido. Isso sugere que a fórmula usada pode ser uma aproximação para tempos finitos antes de atingir exatamente
. Então, para fins práticos, vamos considerar que estamos aproximando o tempo para que o centro atinja uma umidade próxima a
.
Vamos considerar que queremos que o centro atinja
, então:
Substituindo os valores:
Percebemos novamente que o denominador dentro do logaritmo é zero, o que sugere que precisamos considerar uma abordagem diferente ou interpretar que estamos procurando o tempo em que o centro praticamente atinge
. Devido à natureza assintótica da função exponencial, nunca alcançará exatamente
em tempo finito. Portanto, para uma aproximação prática, podemos considerar um pequeno desvio.
Vamos reformular a equação para evitar a divisão por zero:
onde
é uma pequena diferença, por exemplo,
.
Passo 7
Escolhendo
, então:
Calculando passo a passo:
-
Calcular
: -
Calcular
: -
Dividir o resultado de passos 1 e 2:
-
Calcular o logaritmo:
-
Multiplicar os resultados dos passos 3 e 4:
Resposta
O tempo necessário para que a umidade no centro das placas de madeira diminua de
água/kg madeira seca para
água/kg madeira seca é aproximadamente
.