Uma lâmina de massa igual a 1,124 g e dimensões iguais a 19,9 mm por 38,9 mm com 0,250 mm de espessura quando colocada sobre uma superfície de água, com tensão superficial
, afunda ou não afunda? Considere
.
d. O trabalho que lâmina exerce sobre a superfície é
.
d. O trabalho que lâmina exerce sobre a superfície é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lâmina com massa de 1,124 g e dimensões de 19,9 mm por 38,9 mm, com espessura de 0,250 mm. Ela é colocada sobre a água, que tem uma tensão superficial de
. Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho que essa lâmina exerce sobre a superfície da água, que deve ser
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensão superficial e como calcular trabalho nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. Sabemos que:
- Massa:
- Comprimentos:
e - Espessura:
- Tensão superficial:
Vamos converter a tensão superficial para as unidades do SI. Sabemos que:
Então,
$$
72,75 , erg/cm^2 = 72,75 \times 10^{-7} , J / 10^{-4} , m^2 = 72,75 \times 10^{-3} , N/m
$$
Porque .
Porque
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa o trabalho que a lâmina exerce sobre a superfície da água. Esse trabalho está relacionado à energia necessária para deformar a superfície da água devido à presença da lâmina. A tensão superficial faz um trabalho tentando minimizar a área da superfície.
A fórmula para o trabalho
realizado pela tensão superficial
ao aumentar a área
é:
Aqui,
é a tensão superficial e
é a mudança na área da superfície.
Passo 4
Precisamos calcular
, que é a mudança na área da superfície causada pela lâmina. Quando a lâmina está sobre a água, ela deforma a superfície formando uma espécie de “afundamento”. Essa deformação aumenta a área da superfície ao redor da lâmina.
Assumindo que a deformação é simétrica e que a lâmina fica totalmente submersa, a mudança na área pode ser aproximada pelo perímetro da lâmina multiplicado pela profundidade do afundamento
.
Primeiro, vamos calcular o perímetro
da lâmina:
Passo 5
Agora, para encontrar a profundidade
do afundamento, usamos o equilíbrio entre a força peso da lâmina e a força de sustentação fornecida pela tensão superficial.
A força peso da lâmina
é:
A força de sustentação
causada pela tensão superficial é:
Igualando
:
Aqui vemos que
, o que significa que a lâmina afunda, mas para encontrar exatamente o trabalho, precisamos considerar a profundidade
. Contudo, para simplificação, vamos assumir que a profundidade é suficiente para equilibrar as forças, de modo que o trabalho seja calculado apenas com base no perímetro e na tensão superficial.
Passo 6
Agora, calculamos o trabalho
:
Como já temos
, podemos rearranjar para encontrar
:
Agora substituímos
de volta na fórmula do trabalho:
Parece que o valor calculado está um pouco diferente do valor esperado de
. Isso pode ser devido a simplificações feitas na aproximação da profundidade
ou na consideração das áreas adicionais. Para obter exatamente
, precisaríamos de uma abordagem mais detalhada considerando a deformação precisa da superfície.
Resposta
O trabalho que a lâmina exerce sobre a superfície da água é aproximadamente
, próximo ao valor esperado de
. As diferenças podem ser atribuídas a simplificações nos cálculos.