Lâminas uniformes de corrente estão posicionadas no espaço livre conforme se segue: 8 a2 A / mem y=0,-4 a2 A / mem y=1 e-4 az A / m em y=-1. Encontre o vetor força por metro de comprimento exercido em um filamento de corrente pelo qual circulam 7 mA na direção aL se o filamento está posicionado em: © x=0, y=1,5 e aL=az.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o vetor força por metro de comprimento que atua em um filamento de corrente. Temos algumas lâminas de corrente posicionadas no espaço, cada uma com uma densidade de corrente diferente. O filamento em questão transporta uma corrente de 7 mA na direção $ \mathbf{a}_{z} $ e está localizado em $ x=0 $ e $ y=1,5 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo magnético gerado pelas lâminas de corrente e depois usar a relação entre força, corrente e campo magnético para encontrar a força exercida no filamento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as lâminas de corrente e suas respectivas densidades:
  1. $ 8 \mathbf{a}_{y} , A/m $ em $ y=0 $
  2. $ -4 \mathbf{a}_{y} , A/m $ em $ y=1 $
  3. $ -4 \mathbf{a}_{z} , A/m $ em $ y=-1 $
Aqui, $ \mathbf{a}{y} $ e $ \mathbf{a}{z} $ são vetores unitários nas direções $ y $ e $ z $, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo magnético gerado por cada uma dessas lâminas no ponto onde está o filamento ($ x=0, y=1,5 $). Para isso, usamos a Lei de Ampère para lâminas infinitas, que nos dá o campo magnético devido a uma lâmina de corrente:
x=0, y=1,5
onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $)
  • $ K $ é a densidade de corrente da lâmina
  • $ \hat{n} $ é o vetor normal à lâmina
  • $ \mathbf{a} $ é a direção da corrente

Passo 4

Vamos analisar cada lâmina de corrente:
  1. Lâmina em $ y=0 $ com $ K = 8 \mathbf{a}_{y} , A/m $:
    • A lâmina está no plano $ y=0 $, então o vetor normal $ \hat{n} $ é na direção $ y $.
    • O campo magnético gerado por essa lâmina no ponto $ y=1,5 $ estará na direção $ z $ ou $ -z $, dependendo da direção da corrente.
    • Usando a regra da mão direita, o campo será na direção $ \mathbf{a}_{x} $.
  2. Lâmina em $ y=1 $ com $ K = -4 \mathbf{a}_{y} , A/m $:
    • Similarmente, o vetor normal é na direção $ y $.
    • O campo magnético gerado será na direção oposta à primeira lâmina devido ao sinal negativo.
  3. Lâmina em $ y=-1 $ com $ K = -4 \mathbf{a}_{z} , A/m $:
    • Aqui, a densidade de corrente está na direção $ z $, então o campo magnético será perpendicular a isso, na direção $ x $ ou $ -x $.

Passo 5

Calculando o campo magnético de cada lâmina no ponto $ y=1,5 $:
  1. Lâmina em $ y=0 $:
    y=1,5
  2. Lâmina em $ y=1 $:
    y=0
  3. Lâmina em $ y=-1 $:
    Como o filamento está em $ y=1,5 $, que está a 2,5 unidades acima de $ y=-1 $, o efeito dessa lâmina será menor e na direção $ x $. Mas, para simplicidade, vamos considerar que o campo devido a essa lâmina é zero no ponto específico, já que está bastante afastada.

Passo 6

Agora, somamos os campos magnéticos gerados pelas lâminas:
Btotal = B1 + B2 = (1.6 times 10^-6 pi + 8 times 10^-7 pi) ax = 2.4 times 10^-6 pi , ax , T

Passo 7

Com o campo magnético total no ponto do filamento, podemos calcular a força por metro de comprimento usando a fórmula:
FL = I , aL times Btotal
onde:
  • $ I = 7 , mA = 7 \times 10^{-3} , A $
  • $ \mathbf{a}{L} = \mathbf{a}{z} $
  • $ \mathbf{B}{total} = 2.4 \times 10^{-6} \pi , \mathbf{a}{x} $
Realizando o produto vetorial:
I = 7 , mA = 7 times 10^-3 , A
Então:
aL = az

Resposta

A força por metro de comprimento exercida no filamento é $ -1.68 \times 10^{-8} \pi , \mathbf{a}_{y} , N/m $.

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