Lâminas uniformes de corrente estão posicionadas no espaço livre conforme se segue:
em
. Encontre o vetor força por metro de comprimento exercido em um filamento de corrente pelo qual circulam 7 mA na direção
se o filamento está posicionado em: (a)
e
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos lâminas uniformes de corrente posicionadas no espaço em diferentes locais ao longo do eixo $ y $. Essas lâminas têm correntes diferentes e estão localizadas em $ y = 0 $, $ y = 1 $ e $ y = -1 $. Precisamos encontrar o vetor força por metro de comprimento que atua em um fio condutor que transporta 7 mA de corrente na direção $ \mathbf{a}{L} $ quando esse fio está posicionado em $ x = 0 $, $ y = 0,5 $ e a corrente está na direção $ \mathbf{a}{z} $.
Para resolver, vamos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético gerado pelas lâminas e depois aplicar a fórmula da força magnética sobre um fio condutor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as correntes nas lâminas:
- Em $ y = 0 $: $ \mathbf{J}1 = 8, \mathbf{a}{y} , \mathrm{A/m} $
- Em $ y = 1 $: $ \mathbf{J}2 = -4, \mathbf{a}{y} , \mathrm{A/m} $
- Em $ y = -1 $: $ \mathbf{J}3 = -4, \mathbf{a}{z} , \mathrm{A/m} $
Essas correntes vão gerar campos magnéticos no espaço, que atuam sobre o fio condutor.
Passo 3
Vamos calcular o campo magnético gerado por cada lâmina no ponto onde o fio está localizado, que é em $ y = 0,5 $. Para isso, usamos a Lei de Ampère para correntes infinitas, já que as lâminas são uniformes e infinitas.
A expressão para o campo magnético devido a uma lâmina infinita com densidade de corrente $ \mathbf{J} $ é:
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , \mathrm{T \cdot m/A} $) e $ \mathbf{n} $ é o vetor unitário normal à lâmina.
Passo 4
Vamos calcular o campo magnético de cada lâmina no ponto $ y = 0,5 $:
-
Lâmina em $ y = 0 $ com $ \mathbf{J}1 = 8, \mathbf{a}{y} $:
- O vetor normal $ \mathbf{n} $ pode ser $ \mathbf{a}_{z} $.
- Então, $ \mathbf{B}1 = \frac{\mu_0}{2} \mathbf{a}{z} \times 8, \mathbf{a}_{y} $.
- Calculando o produto vetorial, $ \mathbf{a}{z} \times \mathbf{a}{y} = -\mathbf{a}_{x} $.
- Portanto, $ \mathbf{B}1 = -\frac{\mu_0}{2} \times 8, \mathbf{a}{x} = -4\mu_0, \mathbf{a}_{x} $.
-
Lâmina em $ y = 1 $ com $ \mathbf{J}2 = -4, \mathbf{a}{y} $:
- O vetor normal $ \mathbf{n} $ é $ -\mathbf{a}_{z} $ porque está acima do ponto de interesse.
- $ \mathbf{B}2 = \frac{\mu_0}{2} (-\mathbf{a}{z}) \times (-4, \mathbf{a}_{y}) $.
- $ -\mathbf{a}{z} \times -\mathbf{a}{y} = \mathbf{a}{z} \times \mathbf{a}{y} = -\mathbf{a}_{x} $.
- Então, $ \mathbf{B}2 = \frac{\mu_0}{2} \times (-4) \times (-\mathbf{a}{x}) = -2\mu_0, \mathbf{a}_{x} $.
-
Lâmina em $ y = -1 $ com $ \mathbf{J}3 = -4, \mathbf{a}{z} $:
- O vetor normal $ \mathbf{n} $ é $ \mathbf{a}_{y} $ porque está abaixo do ponto de interesse.
- $ \mathbf{B}3 = \frac{\mu_0}{2} \mathbf{a}{y} \times (-4, \mathbf{a}_{z}) $.
- $ \mathbf{a}{y} \times \mathbf{a}{z} = \mathbf{a}_{x} $.
- Portanto, $ \mathbf{B}3 = \frac{\mu_0}{2} \times (-4) \times \mathbf{a}{x} = -2\mu_0, \mathbf{a}_{x} $.
Passo 5
Agora, somamos todos os campos magnéticos para obter o campo total no ponto $ y = 0,5 $:
Passo 6
Com o campo magnético total conhecido, podemos calcular a força magnética sobre o fio usando a fórmula:
Como queremos a força por metro de comprimento, consideramos $ \mathbf{L} = 1 , \mathrm{m} $ na direção da corrente $ \mathbf{a}_{z} $. O valor da corrente é $ I = 7, \mathrm{mA} = 7 \times 10^{-3}, \mathrm{A} $.
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Calculando o produto vetorial $ \mathbf{a}{z} \times \mathbf{a}{x} = \mathbf{a}_{y} $:
Resposta
A força por metro de comprimento exercida no filamento é $ -56 \times 10^{-3} \mu_0, \mathbf{a}_{y} $ newtons por metro.