Um laser funciona a partir da emissão de fótons provenientes da transição de elétrons do nível n=3 ao nível n=1 de um poço quântico unidimensional de largura L=5 nm. Qual a frequência em Hertz, aproximadamente, do fóton emitido nessa transição? Se você quiser aumentar essa frequência, você deve fazer L maior ou menor? Use hbar^22 m=38,1011 meV e h=4.1357 times 10^-12 meV / Hz.
a) 29 times 10^12 Hz, maior

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um laser que emite fótons quando elétrons fazem uma transição do nível n=3 para o nível n=1 em um poço quântico unidimensional com largura L = 5 nm. A gente precisa descobrir qual é a frequência desse fóton em Hertz (Hz) e também entender se, para aumentar essa frequência, a largura L deve ser aumentada ou diminuída. Para isso, vamos usar algumas fórmulas da física quântica e da relação entre energia e frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia dos níveis em um poço quântico é dada pela fórmula:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Onde:
  • En é a energia do nível n,
  • hbar é a constante de Planck reduzida,
  • m é a massa do elétron,
  • L é a largura do poço quântico,
  • n é o número quântico do nível.

Passo 3

A energia do fóton emitido na transição do nível n=3 para n=1 é a diferença entre as energias desses níveis:
De

Passo 4

Sabemos que a energia do fóton também está relacionada à sua frequência pela fórmula:
De
Onde:
  • h é a constante de Planck,
  • nu é a frequência do fóton.

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões para De:
4 pi^2 hbar^2m L^2 = h nu
Agora, isolamos nu para encontrar a frequência:
nu = 4 pi^2 hbar^2m L^2 h

Passo 6

Vamos substituir os valores dados:
  • hbar^22 m = 38,1011 meV Rightarrow hbar^2 = 2 m times 38,1011 meV
  • h = 4,1357 times 10^-12 meV cdot s
Substituindo na equação:
nu = 4 pi^2 times 2 m times 38,1011 meVm L^2 times 4,1357 times 10^-12 meV cdot s

Passo 7

Simplificando os termos:
  • A massa m cancela.
  • Multiplicamos os números:
nu = 8 pi^2 times 38,10114,1357 times 10^-12 times L^2
Substituindo L = 5 nm = 5 times 10^-9 m:
nu = 8 pi^2 times 38,10114,1357 times 10^-12 times (5 times 10^-9)^2

Passo 8

Calculando os valores:
nu approx 29 times 10^12 Hz

Passo 9

Agora, para aumentar a frequência nu, observamos que ela é inversamente proporcional ao quadrado de L:
nu propto 1L^2
Então, se quisermos aumentar nu, precisamos diminuir L.

Resposta

A frequência do fóton emitido é aproximadamente 29 times 10^12 Hz, e para aumentá-la, devemos fazer L menor.

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a) O elétron pode absorver energia desta luz e ir para o primeiro estado excitado, n=2, se hbar omega=4 hbar^2 pi^22 m L^2