A lei das atmosferas afirma que a densidade numérica de moléculas na atmosfera depende da altura y acima do nível do mar de acordo com:
. Onde
é a densidade numérica ao nível do mar (onde
). A altura média de uma molécula na atmosfera da Terra é dada por:
(b) Avalie a altura média, assumindo que a temperatura é
e a massa molecular é
, ambas uniformes por toda a atmosfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou fala sobre como a densidade de moléculas na atmosfera da Terra muda conforme a altura acima do nível do mar. A gente tem uma fórmula que descreve essa densidade numérica
em função da altura
. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a altura média das moléculas nessa atmosfera, considerando que a temperatura é de
e a massa molecular é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística e física atmosférica, além de fazer algumas integrais matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve a densidade numérica das moléculas na atmosfera:
Aqui:
-
é a densidade numérica ao nível do mar ( ). -
é a massa molecular. -
é a aceleração da gravidade ( ). -
é a constante de Boltzmann ( ). -
é a temperatura em Kelvin.
Vamos precisar converter a temperatura de Celsius para Kelvin:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a altura média
é dada pela razão entre duas integrais:
Primeiro, vamos calcular o denominador, que é a integral da densidade numérica sobre toda a atmosfera:
Essa é uma integral da forma
, que resolve para
. Então, identificando
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o numerador da expressão para
:
Essa integral é da forma
, que resolve para
. Novamente, com
, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir o numerador e o denominador na expressão para
:
Então, a altura média é simplesmente:
Passo 6
Vamos agora calcular os valores numéricos. Primeiro, precisamos ter certeza das unidades. A massa molecular
está dada em unidades de massa atômica (u). Vamos converter para quilogramas:
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Agora, dividindo:
Resposta
A altura média das moléculas na atmosfera, sob as condições dadas, é aproximadamente
metros.
Exercícios relacionados
Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
b. No ponto crítico de uma substância pura, as massas específicas do líquido e do vapor são iguais;
b. No ponto crítico de uma substância pura, as massas específicas do líquido e do vapor são iguais;
Qual o número máximo de fases que podem existir em um sistema constituído por 5 componentes, considerando que nenhuma reação química ocorra nesse sistema? Dica: use a regra das fases de Gibbs.
Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
d. Ao longo de uma linha sólida no diagrama de fase de sistemas monocomponentes, ;
d. Ao longo de uma linha sólida no diagrama de fase de sistemas monocomponentes,
Deduza as relações abaixo:
; Onde:
.