A lei das atmosferas afirma que a densidade numérica de moléculas na atmosfera depende da altura y acima do nível do mar de acordo com: . Onde é a densidade numérica ao nível do mar (onde ). A altura média de uma molécula na atmosfera da Terra é dada por:
(b) Avalie a altura média, assumindo que a temperatura é e a massa molecular é , ambas uniformes por toda a atmosfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou fala sobre como a densidade de moléculas na atmosfera da Terra muda conforme a altura acima do nível do mar. A gente tem uma fórmula que descreve essa densidade numérica em função da altura . O que a gente precisa fazer aqui é calcular a altura média das moléculas nessa atmosfera, considerando que a temperatura é de e a massa molecular é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística e física atmosférica, além de fazer algumas integrais matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve a densidade numérica das moléculas na atmosfera:
Aqui:
  • é a densidade numérica ao nível do mar ( ).
  • é a massa molecular.
  • é a aceleração da gravidade ( ).
  • é a constante de Boltzmann ( ).
  • é a temperatura em Kelvin.
Vamos precisar converter a temperatura de Celsius para Kelvin:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a altura média é dada pela razão entre duas integrais:
Primeiro, vamos calcular o denominador, que é a integral da densidade numérica sobre toda a atmosfera:
Essa é uma integral da forma , que resolve para . Então, identificando , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o numerador da expressão para :
Essa integral é da forma , que resolve para . Novamente, com , temos:

Passo 5

Agora, vamos substituir o numerador e o denominador na expressão para :
Então, a altura média é simplesmente:

Passo 6

Vamos agora calcular os valores numéricos. Primeiro, precisamos ter certeza das unidades. A massa molecular está dada em unidades de massa atômica (u). Vamos converter para quilogramas:
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Agora, dividindo:

Resposta

A altura média das moléculas na atmosfera, sob as condições dadas, é aproximadamente metros.

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