A lei das atmosferas afirma que a densidade numérica de moléculas na atmosfera depende da altura y acima do nível do mar de acordo com: nv(y)=n0 exp (-m0 g y / kB T). Onde n0 é a densidade numérica ao nível do mar (onde y=0 ). A altura média de uma molécula na atmosfera da Terra é dada por:
y avg =integral0^infty y nv(y) d y / integral0^infty nv(y) d y=integral0^infty y n0 exp (-m0 g y / kB T) d y / integral0^infty n0 exp (-m0 g y / kB T) d y
(b) Avalie a altura média, assumindo que a temperatura é 10^circ C e a massa molecular é 28,9 u, ambas uniformes por toda a atmosfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou fala sobre como a densidade de moléculas na atmosfera da Terra muda conforme a altura acima do nível do mar. A gente tem uma fórmula que descreve essa densidade numérica em função da altura . O que a gente precisa fazer aqui é calcular a altura média das moléculas nessa atmosfera, considerando que a temperatura é de e a massa molecular é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística e física atmosférica, além de fazer algumas integrais matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve a densidade numérica das moléculas na atmosfera:
nv(y) = n0 exp(-m0 g ykB T)
Aqui:
  • T = 10^circ C + 273,15 = 283,15 , K é a densidade numérica ao nível do mar ( ).
  • é a massa molecular.
  • é a aceleração da gravidade ( ).
  • é a constante de Boltzmann ( ).
  • é a temperatura em Kelvin.
Vamos precisar converter a temperatura de Celsius para Kelvin:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a altura média yavg = integral0^infty y , nv(y) , dyintegral0^infty nv(y) , dy é dada pela razão entre duas integrais:
integral0^infty nv(y) , dy = n0 integral0^infty exp(-m0 g ykB T) dy
Primeiro, vamos calcular o denominador, que é a integral da densidade numérica sobre toda a atmosfera:
integral0^infty nv(y) , dy = n0 cdot kB Tm0 g
Essa é uma integral da forma , que resolve para . Então, identificando , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o numerador da expressão para integral0^infty y , nv(y) , dy = n0 integral0^infty y exp(-m0 g ykB T) dy :
integral0^infty y , nv(y) , dy = n0 cdot kB Tm0 g cdot kB Tm0 g = n0 cdot (kB Tm0 g)^2
Essa integral é da forma , que resolve para . Novamente, com , temos:

Passo 5

Agora, vamos substituir o numerador e o denominador na expressão para yavg = n0 cdot (kB Tm0 g)^2n0 cdot kB Tm0 g = kB Tm0 g :
Então, a altura média é simplesmente:
yavg = kB Tm0 g

Passo 6

Vamos agora calcular os valores numéricos. Primeiro, precisamos ter certeza das unidades. A massa molecular 1 , u = 1,6605 times 10^-27 , kg está dada em unidades de massa atômica (u). Vamos converter para quilogramas:
m0 = 28,9 , u = 28,9 times 1,6605 times 10^-27 , kg approx 4,806 times 10^-26 , kg
yavg = 1,38 times 10^-23 , J/K times 283,15 , K4,806 times 10^-26 , kg times 9,81 , m/s^2
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Numerador = 1,38 times 10^-23 times 283,15 approx 3,904 times 10^-21 , J
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Denominador = 4,806 times 10^-26 times 9,81 approx 4,719 times 10^-25 , kg cdot m/s^2
yavg = 3,904 times 10^-214,719 times 10^-25 approx 8,27 times 10^3 , m
Agora, dividindo:

Resposta

A altura média das moléculas na atmosfera, sob as condições dadas, é aproximadamente metros.

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