Deduza as relações abaixo: (a) cp-cv=T(partial vpartial T)p(partial ppartial T)v=alpha^2 v Tbeta; Onde: alpha=1v(partial vpartial T)p e beta=-1v(partial vpartial p)T.

Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que deduzir a relação:
cp - cv = T(partial vpartial T)p (partial ppartial T)v = alpha^2 v Tbeta
Onde:
alpha = 1v(partial vpartial T)p e beta = -1v(partial vpartial p)T
Matéria Envolvida: Termodinâmica, especificamente as capacidades caloríficas a pressão constante ( ) e a volume constante ( ), e as relações entre derivadas parciais de variáveis termodinâmicas.
O que vamos precisar:
  • Conhecer as definições de e .
  • Entender como relacionar derivadas parciais usando identidades termodinâmicas.
  • Aplicar as definições de coeficientes de expansão térmica ( ) e de compressibilidade ( ).

Passo 2

Definindo as Capacidades Caloríficas e
Primeiro, vamos lembrar o que são e :
  • é a capacidade calorífica a volume constante: quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em 1 unidade mantendo o volume constante.
  • é a capacidade calorífica a pressão constante: semelhante ao , mas mantendo a pressão constante.
A diferença entre essas duas capacidades caloríficas está relacionada ao trabalho realizado pelo sistema quando há expansão ou compressão.

Passo 3

Relacionando de e de através da Primeira Lei da Termodinâmica
A primeira lei da termodinâmica nos diz que:
de
Onde cp = (partial Hpartial T)p é o calor fornecido, é a variação da energia interna e é o trabalho realizado.
Para processos a volume constante ( ):
Para processos a pressão constante ( ):
Então:
Onde é a entalpia.

Passo 4

Encontrando a Diferença cp - cv = (partial Hpartial T)p - (partial Upartial T)v = (partial (U + pV)partial T)p - (partial Upartial T)v
A diferença entre cp - cv = (partial (pV)partial T)p e pode ser obtida da seguinte forma:
Isso simplifica para:

Passo 5

Aplicando a Regra de Maxwell e Identidades Termodinâmicas
Vamos usar a relação das derivadas parciais:
(partial (pV)partial T)p = p (partial Vpartial T)p + V (partial ppartial T)p
No entanto, como estamos mantendo a pressão constante, cp - cv = p (partial Vpartial T)p . Assim:

Passo 6

Expressando em Termos de alpha = 1V(partial Vpartial T)p e beta = -1V(partial Vpartial p)T e cp - cv = p (partial Vpartial T)p = p V alpha
Sabemos que:
Rearranjando a expressão para :
Agora, precisamos relacionar com as outras partes da equação original.

Passo 7

Utilizando a Equação de Estado Geral e Derivadas Cruzadas
Assumindo que o sistema segue uma equação de estado geral, podemos usar a seguinte identidade termodinâmica:
(partial Vpartial T)p (partial ppartial T)V = alpha^2 V Tbeta
Isso nos leva à relação desejada:
cp - cv = alpha^2 V Tbeta

Resposta

Portanto, deduzimos que:
cp - cv = T(partial Vpartial T)p (partial ppartial T)v = alpha^2 V Tbeta

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