Deduza as relações abaixo:
; Onde:
.
Passo 1
Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que deduzir a relação:
Onde:
Matéria Envolvida: Termodinâmica, especificamente as capacidades caloríficas a pressão constante (
) e a volume constante (
), e as relações entre derivadas parciais de variáveis termodinâmicas.
O que vamos precisar:
- Conhecer as definições de
e . - Entender como relacionar derivadas parciais usando identidades termodinâmicas.
- Aplicar as definições de coeficientes de expansão térmica (
) e de compressibilidade ( ).
Passo 2
Definindo as Capacidades Caloríficas
e
Primeiro, vamos lembrar o que são
e
:
-
é a capacidade calorífica a volume constante: quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em 1 unidade mantendo o volume constante. -
é a capacidade calorífica a pressão constante: semelhante ao , mas mantendo a pressão constante.
A diferença entre essas duas capacidades caloríficas está relacionada ao trabalho realizado pelo sistema quando há expansão ou compressão.
Passo 3
Relacionando
e
através da Primeira Lei da Termodinâmica
A primeira lei da termodinâmica nos diz que:
Onde
é o calor fornecido,
é a variação da energia interna e
é o trabalho realizado.
Para processos a volume constante (
):
Para processos a pressão constante (
):
Então:
Onde
é a entalpia.
Passo 4
Encontrando a Diferença
A diferença entre
e
pode ser obtida da seguinte forma:
Isso simplifica para:
Passo 5
Aplicando a Regra de Maxwell e Identidades Termodinâmicas
Vamos usar a relação das derivadas parciais:
No entanto, como estamos mantendo a pressão constante,
. Assim:
Passo 6
Expressando em Termos de
e
Sabemos que:
Rearranjando a expressão para
:
Agora, precisamos relacionar
com as outras partes da equação original.
Passo 7
Utilizando a Equação de Estado Geral e Derivadas Cruzadas
Assumindo que o sistema segue uma equação de estado geral, podemos usar a seguinte identidade termodinâmica:
Isso nos leva à relação desejada:
Resposta
Portanto, deduzimos que:
Exercícios relacionados
Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
d. Ao longo de uma linha sólida no diagrama de fase de sistemas monocomponentes, ;
d. Ao longo de uma linha sólida no diagrama de fase de sistemas monocomponentes,
A lei das atmosferas afirma que a densidade numérica de moléculas na atmosfera depende da altura y acima do nível do mar de acordo com:
. Onde
é a densidade numérica ao nível do mar (onde
). A altura média de uma molécula na atmosfera da Terra é dada por:
(b) Avalie a altura média, assumindo que a temperatura é
e a massa molecular é
, ambas uniformes por toda a atmosfera.
O ponto de ebulição normal do dietil éter é
e sua variação de entalpia de vaporização no ponto de ebulição normal é
. Determine a pressão de vapor do dietil éter a
. Enuncie as aproximações feitas. (R: 545 torr)
Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
e. A variação de entalpia de vaporização de uma substância pura é sempre negativa;
e. A variação de entalpia de vaporização de uma substância pura é sempre negativa;