Deduza as relações abaixo: ; Onde: .

Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que deduzir a relação:
Onde:
Matéria Envolvida: Termodinâmica, especificamente as capacidades caloríficas a pressão constante ( ) e a volume constante ( ), e as relações entre derivadas parciais de variáveis termodinâmicas.
O que vamos precisar:
  • Conhecer as definições de e .
  • Entender como relacionar derivadas parciais usando identidades termodinâmicas.
  • Aplicar as definições de coeficientes de expansão térmica ( ) e de compressibilidade ( ).

Passo 2

Definindo as Capacidades Caloríficas e
Primeiro, vamos lembrar o que são e :
  • é a capacidade calorífica a volume constante: quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em 1 unidade mantendo o volume constante.
  • é a capacidade calorífica a pressão constante: semelhante ao , mas mantendo a pressão constante.
A diferença entre essas duas capacidades caloríficas está relacionada ao trabalho realizado pelo sistema quando há expansão ou compressão.

Passo 3

Relacionando e através da Primeira Lei da Termodinâmica
A primeira lei da termodinâmica nos diz que:
Onde é o calor fornecido, é a variação da energia interna e é o trabalho realizado.
Para processos a volume constante ( ):
Para processos a pressão constante ( ):
Então:
Onde é a entalpia.

Passo 4

Encontrando a Diferença
A diferença entre e pode ser obtida da seguinte forma:
Isso simplifica para:

Passo 5

Aplicando a Regra de Maxwell e Identidades Termodinâmicas
Vamos usar a relação das derivadas parciais:
No entanto, como estamos mantendo a pressão constante, . Assim:

Passo 6

Expressando em Termos de e
Sabemos que:
Rearranjando a expressão para :
Agora, precisamos relacionar com as outras partes da equação original.

Passo 7

Utilizando a Equação de Estado Geral e Derivadas Cruzadas
Assumindo que o sistema segue uma equação de estado geral, podemos usar a seguinte identidade termodinâmica:
Isso nos leva à relação desejada:

Resposta

Portanto, deduzimos que:

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Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
d. Ao longo de uma linha sólida no diagrama de fase de sistemas monocomponentes, ;
A lei das atmosferas afirma que a densidade numérica de moléculas na atmosfera depende da altura y acima do nível do mar de acordo com: . Onde é a densidade numérica ao nível do mar (onde ). A altura média de uma molécula na atmosfera da Terra é dada por:
(b) Avalie a altura média, assumindo que a temperatura é e a massa molecular é , ambas uniformes por toda a atmosfera.
O ponto de ebulição normal do dietil éter é e sua variação de entalpia de vaporização no ponto de ebulição normal é . Determine a pressão de vapor do dietil éter a . Enuncie as aproximações feitas. (R: 545 torr)
Julgue as alternativas abaixo como verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
e. A variação de entalpia de vaporização de uma substância pura é sempre negativa;