A Lei do movimento de um ponto material é:
Determinar:
a) As equações escalares da velocidade e da aceleração.
a) As equações escalares da velocidade e da aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve o movimento de um ponto material em função do tempo, e o que precisamos fazer aqui é encontrar as equações que descrevem a velocidade e a aceleração desse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, que nos permitem encontrar taxas de variação, como a velocidade (variação da posição) e a aceleração (variação da velocidade).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição $ S $ em relação ao tempo $ t $.
A equação da posição é:
Para encontrar a velocidade $ v(t) $, derivamos $ S(t) $ em relação a $ t $:
Calculando a derivada:
- A derivada de $ t^{3} $ é $ 3t^{2} $
- A derivada de $ t^{2} $ é $ 2t $
- A derivada de $ t $ é $ 1 $
- A derivada de uma constante é $ 0 $
Aplicando isso à nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade $ v(t) $ em relação a $ t $.
Já temos a equação da velocidade:
Para encontrar a aceleração $ a(t) $, derivamos $ v(t) $ em relação a $ t $:
Calculando a derivada:
- A derivada de $ t^{2} $ é $ 2t $
- A derivada de $ t $ é $ 1 $
- A derivada de uma constante é $ 0 $
Aplicando isso à nossa equação:
Resposta
As equações escalares da velocidade e da aceleração são: