A Lei do movimento de um ponto material é:
S=1,00 cdot t^3-9,00 cdot t^2+15,0 cdot t+5,00
Determinar:
a) As equações escalares da velocidade e da aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve o movimento de um ponto material em função do tempo, e o que precisamos fazer aqui é encontrar as equações que descrevem a velocidade e a aceleração desse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, que nos permitem encontrar taxas de variação, como a velocidade (variação da posição) e a aceleração (variação da velocidade).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição $ S $ em relação ao tempo $ t $.
A equação da posição é:
S
Para encontrar a velocidade $ v(t) $, derivamos $ S(t) $ em relação a $ t $:
t
Calculando a derivada:
  • A derivada de $ t^{3} $ é $ 3t^{2} $
  • A derivada de $ t^{2} $ é $ 2t $
  • A derivada de $ t $ é $ 1 $
  • A derivada de uma constante é $ 0 $
Aplicando isso à nossa equação:
S(t) = 1,00 cdot t^3 - 9,00 cdot t^2 + 15,0 cdot t + 5,00
v(t)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade $ v(t) $ em relação a $ t $.
Já temos a equação da velocidade:
v(t)
Para encontrar a aceleração $ a(t) $, derivamos $ v(t) $ em relação a $ t $:
t
Calculando a derivada:
  • A derivada de $ t^{2} $ é $ 2t $
  • A derivada de $ t $ é $ 1 $
  • A derivada de uma constante é $ 0 $
Aplicando isso à nossa equação:
v(t) = 3,00 t^2 - 18,00 t + 15,0
a(t)

Resposta

As equações escalares da velocidade e da aceleração são:
v(t) = 3,00 , t^2 - 18,00 , t + 15,0
a(t) = 6,00 , t - 18,00

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